Номер 4, страница 84 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

4. Выполните деление: $\frac{m^2-1}{m} : \frac{m-1}{m}$

Чтобы выполнить деление алгебраических дробей, необходимо первую дробь умножить на дробь, обратную (перевернутую) второй.

Исходное выражение:

$ \frac{m^2 - 1}{m} : \frac{m - 1}{m} $

Заменяем деление на умножение, переворачивая вторую дробь:

$ \frac{m^2 - 1}{m} \cdot \frac{m}{m - 1} $

Числитель первой дроби, $ m^2 - 1 $, представляет собой разность квадратов. Разложим его на множители по формуле $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:

$ m^2 - 1 = (m - 1)(m + 1) $

Подставим полученное разложение в наше выражение:

$ \frac{(m - 1)(m + 1)}{m} \cdot \frac{m}{m - 1} $

Теперь мы можем сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе. Сокращаем $ m $ в знаменателе первой дроби и числителе второй, а также $ (m-1) $ в числителе первой дроби и знаменателе второй. Данные сокращения возможны при условии, что $ m \neq 0 $ и $ m-1 \neq 0 $, то есть $ m \neq 1 $.

$ \frac{\cancel{(m - 1)}(m + 1)}{\cancel{m}} \cdot \frac{\cancel{m}}{\cancel{m - 1}} $

После сокращения множителей остается:

$ m + 1 $

Ответ: $ m + 1 $.