Номер 6, страница 84 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

6. В треугольнике $ABC$ $BC = 10$ см, $CM$ — биссектриса, $AM = MB = 8$ см. Найдите синус угла $B$.

По условию задачи, в треугольнике $ABC$ отрезок $CM$ является биссектрисой угла $C$. Точка $M$ лежит на стороне $AB$ и делит её на два равных отрезка $AM = MB = 8$ см. Это означает, что отрезок $CM$ является также и медианой треугольника $ABC$, так как он соединяет вершину $C$ с серединой противолежащей стороны $AB$.

В треугольнике существует свойство: если медиана, проведенная из вершины, совпадает с биссектрисой, проведенной из той же вершины, то этот треугольник является равнобедренным. Следовательно, треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AB$ и равными боковыми сторонами $AC$ и $BC$.

Из условия нам известно, что $BC = 10$ см. Так как треугольник равнобедренный и $AC = BC$, то и $AC = 10$ см.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, также является его высотой. Это означает, что $CM$ перпендикулярна $AB$ ($CM \perp AB$), и, следовательно, треугольник $CMB$ является прямоугольным с прямым углом $\angle CMB$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CMB$. В нем нам известны:

• гипотенуза $BC = 10$ см;
• катет $MB = 8$ см.

Синус угла $B$ в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета ($CM$) к гипотенузе ($BC$): $ \sin B = \frac{CM}{BC} $.

Чтобы найти синус, сначала вычислим длину катета $CM$ по теореме Пифагора: $CM^2 + MB^2 = BC^2$.

Подставим известные значения в формулу: $CM^2 + 8^2 = 10^2$
$CM^2 + 64 = 100$
$CM^2 = 100 - 64$
$CM^2 = 36$
$CM = \sqrt{36} = 6$ см.

Теперь, зная длины катета $CM$ и гипотенузы $BC$, мы можем найти синус угла $B$: $ \sin B = \frac{CM}{BC} = \frac{6}{10} = 0,6 $.

Ответ: $0,6$.