Номер 9, страница 83 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

9. Найдите площадь треугольника, если две его стороны равны 6 см и 8 см, а медиана, проведенная к третьей, равна 5 см.

Для решения этой задачи можно использовать метод достроения треугольника до параллелограмма или формулу длины медианы. Рассмотрим оба способа.

Способ 1: Достроение до параллелограмма

Пусть дан треугольник $ABC$ со сторонами $AC = 6$ см и $BC = 8$ см. Пусть $CM$ – медиана, проведенная к третьей стороне $AB$, и ее длина $m_c = CM = 5$ см.

Продолжим медиану $CM$ за точку $M$ на ее длину и получим точку $D$ так, что $CM = MD$. Таким образом, длина отрезка $CD$ будет равна $2 \times CM = 2 \times 5 = 10$ см.

Рассмотрим получившийся четырехугольник $ADBC$. Его диагонали $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $M$ и делятся ею пополам ($AM = MB$ по определению медианы, $CM = MD$ по построению). Четырехугольник, диагонали которого точкой пересечения делятся пополам, является параллелограммом. Следовательно, $ADBC$ – параллелограмм.

Площадь исходного треугольника $ABC$ составляет ровно половину площади параллелограмма $ADBC$. В свою очередь, диагональ $CD$ делит параллелограмм $ADBC$ на два равных по площади треугольника: $ACD$ и $BCD$. Таким образом, площадь треугольника $ABC$ равна площади треугольника $ACD$: $S_{ABC} = S_{ACD}$.

Найдем стороны треугольника $ACD$. Сторона $AC$ дана и равна $6$ см. Сторона $CD$ была нами построена и равна $10$ см. Сторона $AD$ является противоположной стороне $BC$ в параллелограмме $ADBC$, поэтому их длины равны: $AD = BC = 8$ см.

Теперь необходимо найти площадь треугольника $ACD$ со сторонами $6$ см, $8$ см и $10$ см. Проверим, является ли он прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора. Сравним квадрат большей стороны с суммой квадратов двух других сторон: $10^2 = 100$. $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$.

Поскольку $10^2 = 6^2 + 8^2$, треугольник $ACD$ является прямоугольным, а его катеты равны $6$ см и $8$ см.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения его катетов: $S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ см².

Так как $S_{ABC} = S_{ACD}$, то искомая площадь треугольника равна $24$ см².

Ответ: 24 см².

Способ 2: Использование формулы длины медианы

Длина медианы $m_c$, проведенной к стороне $c$, в треугольнике со сторонами $a$, $b$, $c$ вычисляется по формуле: $m_c^2 = \frac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4}$ или $4m_c^2 = 2a^2 + 2b^2 - c^2$.

Пусть $a=6$ см, $b=8$ см, и медиана к третьей стороне $c$ равна $m_c=5$ см. Подставим известные значения в формулу, чтобы найти длину третьей стороны $c$: $4 \cdot 5^2 = 2 \cdot 6^2 + 2 \cdot 8^2 - c^2$ $4 \cdot 25 = 2 \cdot 36 + 2 \cdot 64 - c^2$ $100 = 72 + 128 - c^2$ $100 = 200 - c^2$ $c^2 = 200 - 100 = 100$ $c = \sqrt{100} = 10$ см.

Теперь мы знаем все три стороны треугольника: $6$ см, $8$ см и $10$ см. Как было показано в первом способе, треугольник с такими сторонами является прямоугольным, так как выполняется теорема Пифагора: $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$.

Площадь прямоугольного треугольника с катетами $6$ см и $8$ см равна: $S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ см².

(Если бы треугольник не оказался прямоугольным, можно было бы использовать формулу Герона для нахождения площади по трем сторонам).

Ответ: 24 см².