Номер 3, страница 82 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

3. Какое из следующих утверждений НЕ верно:

а) если все стороны квадрата увеличить в 2 раза, то его площадь увеличится в 2 раза;

б) внешний угол треугольника является смежным с его внутренним углом;

в) медианы равностороннего треугольника равны между собой;

г) диагональ квадрата со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$?

а)

Пусть первоначальная сторона квадрата равна $a$. Тогда его площадь $S_1 = a^2$. Если все стороны квадрата увеличить в 2 раза, то новая сторона будет равна $2a$. Площадь нового квадрата $S_2$ будет равна $(2a)^2 = 4a^2$. Сравним новую площадь с первоначальной: $\frac{S_2}{S_1} = \frac{4a^2}{a^2} = 4$. Таким образом, площадь квадрата увеличится в 4 раза, а не в 2. Утверждение неверно.
Ответ: неверно.

б)

По определению, внешний угол треугольника при данной вершине — это угол, смежный с внутренним углом треугольника при этой же вершине. Он образуется одной из сторон и продолжением другой стороны, исходящих из этой вершины. Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга. Таким образом, это утверждение является определением внешнего угла треугольника.
Ответ: верно.

в)

В равностороннем треугольнике все стороны равны и все углы равны ($60^\circ$). Можно доказать равенство медиан через равенство треугольников. Например, рассмотрим медианы $AM$ и $BN$, проведенные к сторонам $BC$ и $AC$ соответственно. Треугольники $\triangle ABN$ и $\triangle CAM$ равны по двум сторонам ($AB=CA$, $AN = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BC = CM$) и углу между ними ($\angle A = \angle C = 60^\circ$). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон, то есть $BN = AM$. Аналогично доказывается равенство и третьей медианы.
Ответ: верно.

г)

Диагональ квадрата делит его на два равных прямоугольных треугольника. Стороны квадрата $a$ являются катетами этих треугольников, а диагональ $d$ — их общей гипотенузой. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$. Отсюда, извлекая квадратный корень, получаем длину диагонали: $d = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.
Ответ: верно.