Номер 6, страница 82 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

6. В треугольнике ABC $AB = 6$ см, $AC = 5$ см, $CM$ — медиана, $ \angle ACM = \angle BCM $. Найдите синус угла $A$.

По условию задачи, в треугольнике $ABC$ отрезок $CM$ является медианой к стороне $AB$, а также биссектрисой угла $C$, поскольку $\angle{ACM} = \angle{BCM}$.

Согласно свойству треугольника, если медиана и биссектриса, проведенные из одной вершины, совпадают, то треугольник является равнобедренным. В данном случае это означает, что треугольник $ABC$ равнобедренный со сторонами $AC = BC$.

Так как по условию $AC = 5$ см, то и $BC = 5$ см. Длина основания $AB$ равна 6 см.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, также является высотой. Следовательно, $CM$ перпендикулярна $AB$, и треугольник $AMC$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $M$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AMC$. Его гипотенуза — это сторона $AC = 5$ см. Один из катетов — это $AM$. Поскольку $M$ — середина стороны $AB$, то длина катета $AM$ равна половине длины $AB$: $AM = \frac{AB}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Для нахождения синуса угла $A$ нам нужен противолежащий катет $CM$. Найдем его длину с помощью теоремы Пифагора: $AC^2 = AM^2 + CM^2$.

Подставим известные значения: $5^2 = 3^2 + CM^2$.

Отсюда $25 = 9 + CM^2$, и $CM^2 = 25 - 9 = 16$.

Длина катета $CM$ равна $\sqrt{16} = 4$ см.

Синус угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы. Для угла $A$ в треугольнике $AMC$ имеем: $\sin(\angle{A}) = \frac{CM}{AC} = \frac{4}{5}$.

Ответ: $\frac{4}{5}$.