Номер 5, страница 82 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

5. Найдите больший корень уравнения $x^4 - 15x^2 - 16 = 0$.

Дано биквадратное уравнение $x^4 - 15x^2 - 16 = 0$.

Для его решения введем замену переменной. Пусть $y = x^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательным ($x^2 \ge 0$), то для новой переменной $y$ должно выполняться условие $y \ge 0$.

Подставив $y$ в исходное уравнение, мы получим квадратное уравнение относительно $y$:

$y^2 - 15y - 16 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 225 + 64 = 289$.

Корень из дискриминанта равен $\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$.

Теперь найдем корни уравнения для $y$ по формуле $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$y_1 = \frac{-(-15) + 17}{2 \cdot 1} = \frac{15 + 17}{2} = \frac{32}{2} = 16$.

$y_2 = \frac{-(-15) - 17}{2 \cdot 1} = \frac{15 - 17}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

Проверим полученные значения $y$ на соответствие условию $y \ge 0$.

Корень $y_1 = 16$ удовлетворяет этому условию, так как $16 \ge 0$.

Корень $y_2 = -1$ не удовлетворяет этому условию, так как $-1 < 0$. Следовательно, это посторонний корень, и мы его отбрасываем.

Теперь выполним обратную замену для единственного подходящего значения $y = 16$:

$x^2 = 16$.

Из этого уравнения находим корни для $x$:

$x_1 = \sqrt{16} = 4$.

$x_2 = -\sqrt{16} = -4$.

Таким образом, исходное уравнение имеет два действительных корня: 4 и -4.

По условию задачи требуется найти больший корень. Сравнивая полученные корни, видим, что $4 > -4$.

Ответ: 4