Номер 9, страница 81 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

9. Окружности с радиусами 9 см и 16 см касаются внешним образом. Найдите отрезок общей внешней касательной, заключенный между точками касания.

Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры окружностей, а $r_1$ и $r_2$ — их радиусы. Согласно условию, $r_1 = 9$ см и $r_2 = 16$ см.

Поскольку окружности касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно сумме их радиусов: $O_1O_2 = r_1 + r_2 = 9 + 16 = 25$ см.

Пусть $AB$ — отрезок общей внешней касательной, где $A$ — точка касания с первой окружностью, а $B$ — со второй. Радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательной: $O_1A \perp AB$ и $O_2B \perp AB$.

Таким образом, фигура $O_1ABO_2$ является прямоугольной трапецией с основаниями $O_1A = r_1 = 9$ см и $O_2B = r_2 = 16$ см, и боковыми сторонами $O_1O_2$ и $AB$.

Проведем из центра меньшей окружности $O_1$ высоту $O_1C$ к радиусу $O_2B$. Получим прямоугольник $O_1ACB$ и прямоугольный треугольник $O_1CO_2$.

В прямоугольнике $O_1ACB$ стороны $AC$ и $O_1B$ равны, и $AB = O_1C$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $O_1CO_2$:

• Гипотенуза $O_1O_2 = 25$ см.
• Катет $O_2C$ равен разности радиусов: $O_2C = O_2B - CB = O_2B - O_1A = r_2 - r_1 = 16 - 9 = 7$ см.
• Катет $O_1C$ равен искомой длине отрезка $AB$.

По теореме Пифагора для треугольника $O_1CO_2$: $(O_1O_2)^2 = (O_1C)^2 + (O_2C)^2$ $25^2 = (AB)^2 + 7^2$ $625 = (AB)^2 + 49$ $(AB)^2 = 625 - 49$ $(AB)^2 = 576$ $AB = \sqrt{576}$ $AB = 24$ см.

Также можно использовать общую формулу для длины $d$ отрезка общей внешней касательной двух окружностей, касающихся внешне: $d = 2\sqrt{r_1r_2}$. $d = 2\sqrt{9 \cdot 16} = 2\sqrt{144} = 2 \cdot 12 = 24$ см.

Ответ: 24 см.