Номер 7, страница 81 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

7. В арифметической прогрессии третий и десятый члены соответственно равны 12 и -2. Чему равна сумма второго и одиннадцатого членов этой прогрессии?

Пусть $a_n$ — это члены арифметической прогрессии. Согласно условию, третий член $a_3 = 12$, а десятый член $a_{10} = -2$. Необходимо найти сумму второго и одиннадцатого членов, то есть $a_2 + a_{11}$.

Для решения этой задачи можно использовать свойство арифметической прогрессии: если для четырёх членов прогрессии $a_p, a_q, a_r, a_s$ выполняется равенство сумм их индексов $p + q = r + s$, то суммы самих членов также равны: $a_p + a_q = a_r + a_s$.

Это свойство легко доказать. Выразим каждый член через первый член $a_1$ и разность прогрессии $d$ по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$a_p + a_q = (a_1 + (p-1)d) + (a_1 + (q-1)d) = 2a_1 + (p+q-2)d$
$a_r + a_s = (a_1 + (r-1)d) + (a_1 + (s-1)d) = 2a_1 + (r+s-2)d$
Поскольку по условию $p+q = r+s$, правые части выражений равны, а значит $a_p + a_q = a_r + a_s$.

Применим это свойство к нашей задаче. Сравним сумму индексов для известных нам членов и для искомых.

Сумма индексов для данных членов: $3 + 10 = 13$

Сумма индексов для членов, сумму которых нужно найти: $2 + 11 = 13$

Так как суммы индексов равны ($3+10 = 2+11$), то равны и суммы соответствующих членов: $a_2 + a_{11} = a_3 + a_{10}$

Теперь подставим известные значения $a_3 = 12$ и $a_{10} = -2$: $a_2 + a_{11} = 12 + (-2)$ $a_2 + a_{11} = 10$

Ответ: 10