Номер 10, страница 79 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. Определите знак выражения $8x_1 - x_2$, где $x_1, x_2$ — корни уравнения $(6 + 2\sqrt{5})x^2 - 15x - (6 - 2\sqrt{5}) = 0$ и $x_1 < x_2$.

Задано квадратное уравнение $(6 + 2\sqrt{5})x^2 - 15x - (6 - 2\sqrt{5}) = 0$.
Это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты равны:
$a = 6 + 2\sqrt{5}$
$b = -15$
$c = -(6 - 2\sqrt{5}) = 2\sqrt{5} - 6$

Для нахождения корней сначала вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-15)^2 - 4(6 + 2\sqrt{5})(2\sqrt{5} - 6) = 225 - 4(2\sqrt{5} + 6)(2\sqrt{5} - 6)$.
Применим формулу разности квадратов $(u+v)(u-v) = u^2 - v^2$:
$D = 225 - 4((2\sqrt{5})^2 - 6^2) = 225 - 4(4 \cdot 5 - 36) = 225 - 4(20 - 36) = 225 - 4(-16) = 225 + 64 = 289$.
Поскольку $D = 289 = 17^2 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x = \frac{-(-15) \pm \sqrt{289}}{2(6 + 2\sqrt{5})} = \frac{15 \pm 17}{2(6 + 2\sqrt{5})}$.
Таким образом, корни уравнения:
$x' = \frac{15 + 17}{2(6 + 2\sqrt{5})} = \frac{32}{2(6 + 2\sqrt{5})} = \frac{16}{6 + 2\sqrt{5}}$
$x'' = \frac{15 - 17}{2(6 + 2\sqrt{5})} = \frac{-2}{2(6 + 2\sqrt{5})} = \frac{-1}{6 + 2\sqrt{5}}$

Согласно условию, $x_1 < x_2$. Сравним полученные корни. Знаменатель $6 + 2\sqrt{5}$ является положительным числом, так как $6 > 0$ и $2\sqrt{5} > 0$. Следовательно, корень $x' = \frac{16}{6 + 2\sqrt{5}}$ положителен, а корень $x'' = \frac{-1}{6 + 2\sqrt{5}}$ отрицателен. Отсюда следует, что $x'' < x'$, и значит:
$x_1 = x'' = \frac{-1}{6 + 2\sqrt{5}}$
$x_2 = x' = \frac{16}{6 + 2\sqrt{5}}$

Теперь необходимо определить знак выражения $8x_1 - x_2$. Подставим в него найденные значения корней:
$8x_1 - x_2 = 8 \left( \frac{-1}{6 + 2\sqrt{5}} \right) - \frac{16}{6 + 2\sqrt{5}} = \frac{-8}{6 + 2\sqrt{5}} - \frac{16}{6 + 2\sqrt{5}} = \frac{-8 - 16}{6 + 2\sqrt{5}} = \frac{-24}{6 + 2\sqrt{5}}$.

Определим знак этого выражения. Числитель дроби, $-24$, является отрицательным числом. Знаменатель дроби, $6 + 2\sqrt{5}$, является положительным числом. Частное от деления отрицательного числа на положительное есть число отрицательное.
Следовательно, $8x_1 - x_2 < 0$.

Альтернативный способ проверки через упрощение корней:
Упростим выражения для $x_1$ и $x_2$, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $6 - 2\sqrt{5}$.
$(6 + 2\sqrt{5})(6 - 2\sqrt{5}) = 6^2 - (2\sqrt{5})^2 = 36 - 20 = 16$.
$x_1 = \frac{-1 \cdot (6 - 2\sqrt{5})}{16} = \frac{2\sqrt{5} - 6}{16} = \frac{\sqrt{5} - 3}{8}$.
$x_2 = \frac{16 \cdot (6 - 2\sqrt{5})}{16} = 6 - 2\sqrt{5}$.
Подставим эти значения в искомое выражение:
$8x_1 - x_2 = 8 \left(\frac{\sqrt{5} - 3}{8}\right) - (6 - 2\sqrt{5}) = \sqrt{5} - 3 - 6 + 2\sqrt{5} = 3\sqrt{5} - 9$.
Чтобы определить знак, сравним $3\sqrt{5}$ и $9$. Возведем оба положительных числа в квадрат:
$(3\sqrt{5})^2 = 9 \cdot 5 = 45$.
$9^2 = 81$.
Поскольку $45 < 81$, то $3\sqrt{5} < 9$. Таким образом, разность $3\sqrt{5} - 9$ отрицательна.
Оба способа приводят к одному и тому же выводу.

Ответ: выражение $8x_1 - x_2$ имеет отрицательный знак.