Номер 9, страница 79 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

9. Окружности с радиусами 4 см и 9 см касаются внешним образом. Найдите отрезок общей внешней касательной, заключенный между точками касания.

Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры окружностей, а $r_1$ и $r_2$ — их радиусы. Согласно условию, $r_1 = 4$ см и $r_2 = 9$ см. Так как окружности касаются внешним образом, расстояние между их центрами $O_1O_2$ равно сумме их радиусов: $O_1O_2 = r_1 + r_2 = 4 + 9 = 13$ см.

Пусть $AB$ — искомый отрезок общей внешней касательной, где $A$ — точка касания с первой окружностью (с центром $O_1$), а $B$ — со второй (с центром $O_2$). Радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательной, то есть $O_1A \perp AB$ и $O_2B \perp AB$. Из этого следует, что $O_1A \parallel O_2B$, и, следовательно, четырехугольник $O_1ABO_2$ является прямоугольной трапецией с основаниями $O_1A$ и $O_2B$.

Для нахождения длины боковой стороны $AB$ проведем из центра меньшей окружности $O_1$ отрезок $O_1C$, параллельный $AB$, до пересечения с радиусом $O_2B$. Точка $C$ будет лежать на отрезке $O_2B$.

Получившийся четырехугольник $O_1ACB$ является прямоугольником, поскольку его стороны попарно параллельны ($O_1C \parallel AB$ по построению, $AC \parallel O_1B$ так как $O_1A$ и $O_2B$ параллельны) и один из углов прямой ($\angle O_1AB = 90^\circ$). Следовательно, $AB = O_1C$ и $CB = O_1A = 4$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $O_1CO_2$.

• Гипотенуза $O_1O_2 = 13$ см.
• Катет $O_1C$ равен искомому отрезку $AB$.
• Катет $O_2C$ можно найти как разность длин отрезков $O_2B$ и $CB$: $O_2C = O_2B - CB = r_2 - r_1 = 9 - 4 = 5$ см.

По теореме Пифагора для треугольника $O_1CO_2$: $O_1O_2^2 = O_1C^2 + O_2C^2$

Подставив известные значения, получим: $13^2 = AB^2 + 5^2$ $169 = AB^2 + 25$ $AB^2 = 169 - 25$ $AB^2 = 144$ $AB = \sqrt{144} = 12$ см.

Ответ: 12 см.