Номер 6, страница 80 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

6. Меньшая диагональ $BD$ ромба $ABCD$ равна 10 см, а тупой угол $B$ ромба равен $120^\circ$. Найдите периметр ромба.

По определению, ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны. Пусть сторона ромба $ABCD$ равна $a$. Тогда его периметр $P$ вычисляется по формуле $P = 4a$.

В ромбе $ABCD$ дан тупой угол $\angle B = 120^{\circ}$. Сумма углов, прилежащих к одной стороне ромба, равна $180^{\circ}$. Следовательно, острый угол $\angle A$ равен $180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABD$. Он образован двумя сторонами ромба $AB$ и $AD$ и диагональю $BD$. Так как $AB = AD = a$, треугольник $\triangle ABD$ является равнобедренным. Угол между равными сторонами в этом треугольнике – это угол $\angle A$, который равен $60^{\circ}$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов треугольника составляет $180^{\circ}$, поэтому углы при основании $BD$ равны: $\angle ABD = \angle ADB = (180^{\circ} - 60^{\circ}) / 2 = 120^{\circ} / 2 = 60^{\circ}$.

Так как все три угла треугольника $\triangle ABD$ равны $60^{\circ}$, он является равносторонним. Это означает, что все его стороны равны: $AB = AD = BD$.

По условию задачи, длина меньшей диагонали $BD$ равна 10 см. Из того, что $\triangle ABD$ равносторонний, следует, что сторона ромба $a$ также равна 10 см ($a = AB = BD = 10$ см).

Теперь найдем периметр ромба: $P = 4a = 4 \cdot 10 = 40$ см.

Ответ: 40 см.