Номер 3, страница 78 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

3. Какое из следующих утверждений НЕ верно:

а) если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в 30°;

б) если дан треугольник ABC, где R — радиус его описанной окружности, то $\frac{AC}{\sin B} = 2R$;

в) в любой квадрат можно вписать окружность;

г) сумма углов любого треугольника равна 360°?

Для того чтобы определить, какое из утверждений неверно, необходимо проанализировать каждое из них.

а) если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в 30°

Рассмотрим прямоугольный треугольник. Пусть один из катетов равен `a`, а гипотенуза равна `c`. По условию, $a = \frac{1}{2}c$. Синус угла `α`, который лежит напротив катета `a`, определяется как отношение длины этого катета к длине гипотенузы: $\sin(\alpha) = \frac{a}{c}$. Подставим в эту формулу заданное соотношение: $\sin(\alpha) = \frac{\frac{1}{2}c}{c} = \frac{1}{2}$. В прямоугольном треугольнике острый угол, синус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $30^\circ$. Таким образом, данное утверждение является верным.

Ответ: утверждение верно.

б) если дан треугольник АВС, где R — радиус его описанной окружности, то $\frac{AC}{\sin B} = 2R$

Данное равенство является формулировкой следствия из теоремы синусов. Теорема синусов для произвольного треугольника гласит, что отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла есть величина постоянная, равная диаметру ($2R$) описанной около треугольника окружности. Для треугольника `ABC` сторона `AC` лежит напротив угла `B`. Следовательно, соотношение $\frac{AC}{\sin B} = 2R$ является верным.

Ответ: утверждение верно.

в) в любой квадрат можно вписать окружность

Согласно свойству описанных четырехугольников, в выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны. В квадрате все стороны равны. Пусть длина стороны квадрата равна `s`. Тогда сумма длин одной пары противоположных сторон равна $s + s = 2s$, и сумма длин другой пары также равна $s + s = 2s$. Поскольку суммы равны, условие выполняется, и в любой квадрат можно вписать окружность. Центр этой окружности совпадает с центром квадрата, а ее радиус равен половине стороны квадрата.

Ответ: утверждение верно.

г) сумма углов любого треугольника равна 360°?

Это утверждение ложно. Согласно фундаментальной теореме евклидовой геометрии, сумма внутренних углов любого треугольника всегда составляет $180^\circ$. Сумма углов, равная $360^\circ$, является свойством любого выпуклого четырехугольника.

Ответ: утверждение неверно.

Итак, проанализировав все четыре утверждения, мы установили, что утверждения а), б) и в) верны, а утверждение г) — неверно. Вопрос требует найти неверное утверждение.

Ответ: г)