Номер 8, страница 77 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

8. Найдите сумму всех натуральных чисел, больших 8 и не превосходящих 188, которые при делении на 8 дают в остатке 4.

Нам необходимо найти сумму всех натуральных чисел $n$, которые удовлетворяют следующим условиям:
1. Число больше 8: $n > 8$.
2. Число не превосходит 188: $n \le 188$.
3. Число при делении на 8 дает в остатке 4.

Условие, что число при делении на 8 дает в остатке 4, можно записать в виде формулы: $n = 8k + 4$, где $k$ — целое неотрицательное число.

Числа, удовлетворяющие этому условию, образуют арифметическую прогрессию с разностью $d = 8$. Нам нужно найти все члены этой прогрессии, которые находятся в интервале от 8 до 188 включительно, и затем вычислить их сумму.

Найдем первый член прогрессии $a_1$, который удовлетворяет условию $a_1 > 8$.
$8k + 4 > 8$
$8k > 4$
$k > \frac{4}{8}$
$k > 0.5$
Поскольку $k$ должно быть целым числом, наименьшее подходящее значение для $k$ — это 1.
Тогда первый член прогрессии: $a_1 = 8 \cdot 1 + 4 = 12$.

Теперь найдем последний член прогрессии $a_n$, который удовлетворяет условию $a_n \le 188$.
$8k + 4 \le 188$
$8k \le 184$
$k \le \frac{184}{8}$
$k \le 23$
Наибольшее подходящее целое значение для $k$ — это 23.
Тогда последний член прогрессии: $a_n = 8 \cdot 23 + 4 = 184 + 4 = 188$.

Итак, мы имеем арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 12$, последним членом $a_n = 188$ и разностью $d = 8$.
Найдем количество членов $n$ в этой прогрессии, используя формулу n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$188 = 12 + (n-1) \cdot 8$
$176 = (n-1) \cdot 8$
$n-1 = \frac{176}{8}$
$n-1 = 22$
$n = 23$
Таким образом, в последовательности 23 числа.

Для нахождения суммы всех этих чисел воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$:
$S_{23} = \frac{12 + 188}{2} \cdot 23$
$S_{23} = \frac{200}{2} \cdot 23$
$S_{23} = 100 \cdot 23$
$S_{23} = 2300$

Ответ: 2300