Номер 7, страница 79 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

7. В арифметической прогрессии второй и девятый члены соответственно равны 3 и 10. Чему равна сумма третьего и десятого членов этой прогрессии?

Пусть $a_n$ — n-ый член арифметической прогрессии, а $d$ — её разность.

По условию задачи, второй член прогрессии $a_2 = 3$, а девятый член $a_9 = 10$.

Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии.

Разность между любыми двумя членами прогрессии $a_m$ и $a_n$ можно выразить как $a_m - a_n = (m-n)d$.

Используем это свойство для известных нам членов $a_9$ и $a_2$:

$a_9 - a_2 = (9-2)d = 7d$

Подставим числовые значения:

$10 - 3 = 7d$

$7 = 7d$

Отсюда находим разность прогрессии:

$d = 1$

Нам нужно найти сумму третьего и десятого членов прогрессии, то есть $a_3 + a_{10}$.

Выразим $a_3$ и $a_{10}$ через уже известные нам члены $a_2$ и $a_9$ и разность $d$:

Третий член $a_3$ можно получить, прибавив разность $d$ к второму члену $a_2$:

$a_3 = a_2 + d = 3 + 1 = 4$

Аналогично, десятый член $a_{10}$ можно получить, прибавив разность $d$ к девятому члену $a_9$:

$a_{10} = a_9 + d = 10 + 1 = 11$

Теперь найдем их сумму:

$a_3 + a_{10} = 4 + 11 = 15$

Другой способ:

Заметим, что искомая сумма $a_3 + a_{10}$ может быть выражена через сумму известных членов $a_2 + a_9$.

$a_3 + a_{10} = (a_2 + d) + (a_9 + d) = a_2 + a_9 + 2d$

Мы знаем, что $a_2 + a_9 = 3 + 10 = 13$, и мы уже нашли, что $d=1$.

Подставим эти значения в выражение:

$a_3 + a_{10} = 13 + 2 \cdot 1 = 15$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 15