Номер 6, страница 87 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

6. Определите, при каких значениях переменной разность дробей $\frac{4a-3}{5}$ и $\frac{4a-5}{7}$ неотрицательна. В ответ запишите наименьшее натуральное значение переменной.

По условию задачи, разность дробей $\frac{4a-3}{5}$ и $\frac{4a-5}{7}$ должна быть неотрицательной, то есть больше или равной нулю. Составим соответствующее неравенство:

$\frac{4a-3}{5} - \frac{4a-5}{7} \geq 0$

Для решения этого неравенства приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5 и 7 это 35. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на 7, а второй — на 5:

$\frac{7 \cdot (4a-3)}{35} - \frac{5 \cdot (4a-5)}{35} \geq 0$

Теперь можно записать разность числителей под общим знаменателем:

$\frac{7(4a-3) - 5(4a-5)}{35} \geq 0$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{28a - 21 - 20a + 25}{35} \geq 0$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{8a + 4}{35} \geq 0$

Так как знаменатель дроби (35) является положительным числом, мы можем умножить обе части неравенства на 35, знак неравенства при этом не изменится:

$8a + 4 \geq 0$

Перенесем 4 в правую часть неравенства с противоположным знаком:

$8a \geq -4$

Разделим обе части на 8:

$a \geq -\frac{4}{8}$

$a \geq -0.5$

Мы нашли, что разность дробей неотрицательна при всех значениях $a$, которые больше или равны -0.5.

Теперь необходимо найти наименьшее натуральное значение переменной. Натуральные числа — это 1, 2, 3, и так далее. Наименьшим натуральным числом, удовлетворяющим условию $a \geq -0.5$, является 1.

Ответ: 1.