Номер 3, страница 88 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

3. Какое из следующих утверждений НЕ верно:

а) радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$ находится по формуле $r = \frac{a+b-c}{2}$;

б) площадь прямоугольника со сторонами $a$, $b$ находится по формуле $S = ab$;

в) из данной точки, не лежащей на данной прямой, к данной прямой можно провести только один перпендикуляр;

г) если в треугольнике $ABC$ сторона $AC$ — наибольшая, то угол $A$ — наибольший?

а)

Данное утверждение является верным. Это известная формула для радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник. Докажем её.

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$. Пусть $r$ — радиус вписанной окружности.

Площадь треугольника $S$ можно выразить двумя способами: 1. Как половину произведения катетов: $S = \frac{1}{2}ab$. 2. Через радиус вписанной окружности и полупериметр $p$: $S = p \cdot r$, где $p = \frac{a+b+c}{2}$.

Приравняем эти два выражения: $\frac{1}{2}ab = \frac{a+b+c}{2} \cdot r$ $ab = (a+b+c)r$ $r = \frac{ab}{a+b+c}$

Это общая формула для любого треугольника. Для прямоугольного треугольника воспользуемся теоремой Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.

Рассмотрим выражение $a+b-c$. Возведем его в квадрат: $(a+b-c)^2 = ((a+b)-c)^2 = (a+b)^2 - 2c(a+b) + c^2 = a^2+2ab+b^2 - 2ac - 2bc + c^2$.

Так как $a^2+b^2=c^2$, то $(a+b-c)^2 = c^2+2ab - 2ac - 2bc + c^2 = 2c^2+2ab-2ac-2bc$.

Этот путь сложный.

Используем другой метод, основанный на свойствах касательных.

Пусть вписанная окружность касается катетов $a$ и $b$ и гипотенузы $c$. Отрезки касательных, проведенных из одной вершины до точек касания, равны. Вершина прямого угла и две ближайшие точки касания образуют квадрат со стороной $r$. Тогда катеты делятся на отрезки $r$ и $a-r$, и $r$ и $b-r$. Гипотенуза состоит из двух отрезков, которые равны $a-r$ и $b-r$.

Следовательно, $c = (a-r) + (b-r)$. $c = a + b - 2r$ $2r = a + b - c$ $r = \frac{a+b-c}{2}$

Формула верна. Ответ: Утверждение верно.

б)

Данное утверждение является верным. По определению, площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон. Если длины сторон прямоугольника обозначить как $a$ и $b$, то его площадь $S$ вычисляется по формуле $S=ab$. Ответ: Утверждение верно.

в)

Данное утверждение является верным. Это одна из фундаментальных теорем евклидовой геометрии. Она гласит, что из точки, не лежащей на прямой, можно провести к этой прямой только один перпендикуляр. Если бы можно было провести два различных перпендикуляра из точки к прямой, то образовался бы треугольник, у которого два угла были бы прямыми (по $90^\circ$). Сумма углов в таком треугольнике превысила бы $180^\circ$, что противоречит теореме о сумме углов треугольника. Ответ: Утверждение верно.

г)

Данное утверждение НЕ верно. В треугольнике напротив большей стороны лежит больший угол. В треугольнике $ABC$ сторона $AC$ лежит напротив угла $B$. Следовательно, если сторона $AC$ является наибольшей, то именно угол $B$ будет наибольшим углом в этом треугольнике. Угол $A$ лежит напротив стороны $BC$. Утверждение было бы верным, если бы наибольшей была сторона $BC$. Ответ: Утверждение неверно.

Итак, мы проанализировали все утверждения и установили, что неверным является утверждение г).