Номер 8, страница 89 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

8. В ботаническом саду оформляют экспозицию пионов.

На одной из клумб экспозиции ландшафтный дизайнер решил разместить кусты пионов так, чтобы в каждом ряду было одинаковое количество кустов, при этом рядов — на 7 меньше, чем кустов в каждом ряду. Определите, можно ли на клумбе посадить 60 кустов пионов. Ответ обоснуйте.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — количество кустов пионов в каждом ряду, а $y$ — количество рядов. По условию, $x$ и $y$ должны быть целыми положительными числами.

Согласно условию, рядов на 7 меньше, чем кустов в каждом ряду. Это можно выразить уравнением:

$y = x - 7$

Общее количество кустов на клумбе равно произведению количества рядов на количество кустов в одном ряду. По условию, это количество равно 60. Составим второе уравнение:

$x \cdot y = 60$

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$x \cdot (x - 7) = 60$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 7x = 60$

$x^2 - 7x - 60 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или найти корни через дискриминант. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 49 + 240 = 289$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:

$\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 17}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 17}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Поскольку $x$ — это количество кустов в ряду, оно не может быть отрицательным. Значит, корень $x_2 = -5$ не является решением задачи.

Единственное подходящее значение — $x = 12$. Это означает, что в каждом ряду должно быть 12 кустов.

Теперь найдем количество рядов $y$, используя первое уравнение:

$y = x - 7 = 12 - 7 = 5$

Таким образом, мы получили, что можно посадить 5 рядов по 12 кустов в каждом. Проверим, выполняются ли все условия:

• Количество рядов (5) на 7 меньше количества кустов в ряду (12): $12 - 5 = 7$. Условие выполнено.
• Общее количество кустов: $12 \text{ кустов/ряд} \cdot 5 \text{ рядов} = 60$ кустов. Условие выполнено.

Поскольку мы нашли целочисленные положительные значения для количества рядов и количества кустов в ряду, которые удовлетворяют всем условиям задачи, на клумбе можно посадить 60 кустов пионов указанным способом.

Ответ: да, можно. Это возможно, если разместить 12 кустов в 5 рядах.