Номер 9, страница 89 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

9. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см, радиус вписанной окружности — 2 см. Найдите площадь треугольника.

Для решения этой задачи воспользуемся формулами, связывающими площадь прямоугольного треугольника, его стороны и радиус вписанной окружности.

Обозначим катеты прямоугольного треугольника как $a$ и $b$, гипотенузу как $c$, радиус вписанной окружности как $r$, а площадь как $S$.

Известны две ключевые формулы:
1. Площадь любого треугольника может быть выражена через его полупериметр $p$ и радиус вписанной окружности $r$:
$S = p \cdot r$, где полупериметр $p = \frac{a+b+c}{2}$.
2. Для прямоугольного треугольника существует особая связь между катетами, гипотенузой и радиусом вписанной окружности:
$r = \frac{a+b-c}{2}$.

Давайте преобразуем эти формулы для нашего случая. Сначала выразим сумму катетов ($a+b$) из второй формулы:
$2r = a+b-c$
$a+b = c+2r$

Теперь подставим это выражение для суммы катетов в формулу полупериметра:
$p = \frac{(a+b)+c}{2} = \frac{(c+2r)+c}{2} = \frac{2c+2r}{2} = c+r$

Мы получили элегантную формулу для полупериметра прямоугольного треугольника, выраженную только через гипотенузу и радиус вписанной окружности.

Подставим это выражение для $p$ в основную формулу площади $S = p \cdot r$:
$S = (c+r) \cdot r$

Теперь используем данные из условия задачи: гипотенуза $c = 13$ см, радиус вписанной окружности $r = 2$ см.
$S = (13 + 2) \cdot 2$
$S = 15 \cdot 2$
$S = 30$ см²

Ответ: 30 см².