Номер 10, страница 89 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. Решите уравнение $x(x-1)(x-2)(x-3)=24$. В ответ запишите корни уравнения, удовлетворяющие неравенству $|x|<4$.

Дано уравнение $x(x-1)(x-2)(x-3) = 24$.

Для решения сгруппируем множители таким образом, чтобы при их перемножении получились похожие выражения. Удобно сгруппировать первый множитель с четвертым, а второй с третьим:

$(x(x-3)) \cdot ((x-1)(x-2)) = 24$

Раскроем скобки внутри каждой группы:
$x(x-3) = x^2 - 3x$
$(x-1)(x-2) = x^2 - 2x - x + 2 = x^2 - 3x + 2$

Подставим полученные выражения обратно в уравнение:

$(x^2 - 3x)(x^2 - 3x + 2) = 24$

Чтобы упростить уравнение, введем замену. Пусть $t = x^2 - 3x$. Тогда уравнение примет вид:

$t(t+2) = 24$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 + 2t - 24 = 0$

Используя теорему Виета, находим корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = -6$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

Первый случай: $t = 4$.
$x^2 - 3x = 4$
$x^2 - 3x - 4 = 0$
Корни этого квадратного уравнения можно найти по теореме Виета: $x_1 \cdot x_2 = -4$ и $x_1 + x_2 = 3$. Подходят числа $4$ и $-1$.
Таким образом, $x_1 = 4$, $x_2 = -1$.

Второй случай: $t = -6$.
$x^2 - 3x = -6$
$x^2 - 3x + 6 = 0$
Найдем дискриминант этого уравнения: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 9 - 24 = -15$.
Поскольку дискриминант $D < 0$, у этого уравнения нет действительных корней.

Итак, исходное уравнение имеет два действительных корня: $4$ и $-1$.

По условию задачи, необходимо в ответ записать только те корни, которые удовлетворяют неравенству $|x| < 4$. Это неравенство эквивалентно двойному неравенству $-4 < x < 4$.

Проверим найденные корни:
1. Корень $x = 4$. Неравенство $|4| < 4$ (или $4 < 4$) является ложным.
2. Корень $x = -1$. Неравенство $|-1| < 4$ (или $1 < 4$) является истинным.

Следовательно, условию задачи удовлетворяет только один корень.

Ответ: -1.