Номер 7, страница 91 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

7. Найдите область определения функции

$y = \sqrt{12 - 6x} - \frac{3}{x^2 - 4}$

Область определения функции находится из условий, при которых все входящие в нее операции имеют смысл. Для данной функции необходимо выполнение двух условий:

1. Знаменатель дроби, находящейся в выражении, не должен быть равен нулю.

$x^2 - 4 \neq 0$

$x^2 \neq 4$

Это означает, что $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

2. Выражение, находящееся под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным.

$12 - 6x - \frac{3}{x^2 - 4} \ge 0$

Для решения этого неравенства приведем все его члены к общему знаменателю $x^2 - 4$:

$\frac{(12 - 6x)(x^2 - 4)}{x^2 - 4} - \frac{3}{x^2 - 4} \ge 0$

$\frac{(12 - 6x)(x^2 - 4) - 3}{x^2 - 4} \ge 0$

Раскроем скобки и упростим выражение в числителе:

$\frac{12x^2 - 48 - 6x^3 + 24x - 3}{x^2 - 4} \ge 0$

$\frac{-6x^3 + 12x^2 + 24x - 51}{x^2 - 4} \ge 0$

Вынесем за скобки в числителе общий множитель $-3$:

$\frac{-3(2x^3 - 4x^2 - 8x + 17)}{x^2 - 4} \ge 0$

Разделим обе части неравенства на $-3$ и сменим знак неравенства на противоположный:

$\frac{2x^3 - 4x^2 - 8x + 17}{x^2 - 4} \le 0$

Решим полученное неравенство методом интервалов. Для этого найдем нули числителя и знаменателя.

Нули знаменателя: $x^2 - 4 = 0$, что дает $x = -2$ и $x = 2$. В этих точках функция не определена.

Нули числителя: $2x^3 - 4x^2 - 8x + 17 = 0$. Данное кубическое уравнение не имеет простых целых или рациональных корней. Обозначим единственный действительный корень этого уравнения как $x_0$. Чтобы определить его расположение на числовой оси, исследуем функцию $P(x) = 2x^3 - 4x^2 - 8x + 17$.

Найдем значения $P(x)$ в целых точках:

$P(-3) = 2(-27) - 4(9) - 8(-3) + 17 = -54 - 36 + 24 + 17 = -49$.

$P(-2) = 2(-8) - 4(4) - 8(-2) + 17 = -16 - 16 + 16 + 17 = 1$.

Поскольку $P(-3) < 0$ и $P(-2) > 0$, корень $x_0$ находится в интервале $(-3, -2)$.

Теперь нанесем точки $x_0, -2, 2$ на числовую ось и определим знак дроби $\frac{2x^3 - 4x^2 - 8x + 17}{x^2 - 4}$ на каждом интервале.

• При $x \in (-\infty, x_0)$: выражение меньше нуля. Например, при $x=-3$ числитель равен -49 (отрицательный), а знаменатель $9-4=5$ (положительный). Дробь отрицательна. Этот интервал входит в решение.
• При $x \in (x_0, -2)$: числитель становится положительным, знаменатель все еще положительный. Дробь положительна. Интервал не входит в решение.
• При $x \in (-2, 2)$: числитель положителен (например, $P(0)=17$), а знаменатель отрицателен ($0^2-4=-4$). Дробь отрицательна. Этот интервал входит в решение.
• При $x \in (2, \infty)$: и числитель, и знаменатель положительны. Дробь положительна. Интервал не входит в решение.

Так как неравенство нестрогое ($\le 0$), в решение включается точка, где числитель равен нулю, то есть $x = x_0$. Точки, где знаменатель равен нулю ($x=-2, x=2$), исключаются.

Таким образом, область определения функции состоит из объединения полученных интервалов.

Ответ: $(-\infty, x_0] \cup (-2, 2)$, где $x_0$ — единственный действительный корень уравнения $2x^3 - 4x^2 - 8x + 17 = 0$, причем $x_0 \in (-3, -2)$.