Номер 8, страница 91 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

8. Найдите значение выражения $81x_0$, где $x_0$ — наибольший корень уравнения $\frac{x^2}{4x^2+4x+1} - \frac{6x}{2x+1} + 5 = 0$.

Для решения данного уравнения сначала преобразуем его. Заметим, что знаменатель первого слагаемого является полным квадратом:

$4x^2 + 4x + 1 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 = (2x+1)^2$.

Теперь исходное уравнение можно переписать в виде:

$\frac{x^2}{(2x+1)^2} - \frac{6x}{2x+1} + 5 = 0$

Перед дальнейшими преобразованиями найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны равняться нулю:

$2x+1 \neq 0 \implies 2x \neq -1 \implies x \neq -0.5$.

Уравнение можно упростить, введя замену переменной. Пусть $t = \frac{x}{2x+1}$. Тогда первое слагаемое равно $t^2$, а второе $-6t$. Подставим новую переменную в уравнение:

$t^2 - 6t + 5 = 0$.

Мы получили квадратное уравнение относительно $t$. Решим его с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 6, а их произведение равно 5. Легко подобрать корни:

$t_1 = 1$

$t_2 = 5$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

1. Если $t=1$, то:

$\frac{x}{2x+1} = 1$

$x = 2x+1$

$-x = 1$

$x_1 = -1$

Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($x \neq -0.5$).

2. Если $t=5$, то:

$\frac{x}{2x+1} = 5$

$x = 5(2x+1)$

$x = 10x + 5$

$-9x = 5$

$x_2 = -\frac{5}{9}$

Этот корень также удовлетворяет ОДЗ ($-\frac{5}{9} \approx -0.556$, что не равно -0.5).

Мы нашли два корня уравнения: $-1$ и $-\frac{5}{9}$. В условии задачи требуется найти наибольший корень $x_0$. Сравним полученные значения:

$-1 = -\frac{9}{9}$

Так как $-5 > -9$, то $-\frac{5}{9} > -\frac{9}{9}$, следовательно, $-\frac{5}{9} > -1$.

Таким образом, наибольший корень уравнения $x_0 = -\frac{5}{9}$.

Теперь найдем значение выражения $81x_0$:

$81x_0 = 81 \cdot \left(-\frac{5}{9}\right) = \frac{81}{9} \cdot (-5) = 9 \cdot (-5) = -45$.

Ответ: -45