Номер 5, страница 92 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

5. Найдите площадь треугольника со сторонами 13 см, 13 см и 10 см.

5.

Для нахождения площади треугольника со сторонами 13 см, 13 см и 10 см можно воспользоваться одним из двух способов.

Способ 1: Использование свойств равнобедренного треугольника

Поскольку у треугольника две стороны равны (по 13 см), он является равнобедренным. Основанием в данном случае будет третья сторона, равная 10 см.

Площадь треугольника можно найти по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — основание, а $h$ — высота, проведенная к этому основанию.

1. Проведем высоту $h$ к основанию длиной 10 см. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, также является медианой. Это значит, что она делит основание на два равных отрезка.

Длина каждого отрезка составит: $\frac{10}{2} = 5$ см.

2. Теперь у нас есть прямоугольный треугольник, образованный высотой $h$, боковой стороной (гипотенуза, 13 см) и половиной основания (катет, 5 см). По теореме Пифагора найдем длину высоты $h$:

$h^2 + 5^2 = 13^2$

$h^2 + 25 = 169$

$h^2 = 169 - 25$

$h^2 = 144$

$h = \sqrt{144} = 12$ см.

3. Зная основание (10 см) и высоту (12 см), вычислим площадь треугольника:

$S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 5 \cdot 12 = 60$ см².

Способ 2: Использование формулы Герона

Формула Герона позволяет вычислить площадь треугольника по трем известным сторонам. Формула имеет вид:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

где $a, b, c$ — длины сторон, а $p$ — полупериметр.

1. Вычислим полупериметр $p$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{13+13+10}{2} = \frac{36}{2} = 18$ см.

2. Подставим значения в формулу Герона:

$S = \sqrt{18(18-13)(18-13)(18-10)}$

$S = \sqrt{18 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 8}$

$S = \sqrt{(18 \cdot 8) \cdot (5 \cdot 5)} = \sqrt{144 \cdot 25}$

$S = \sqrt{144} \cdot \sqrt{25} = 12 \cdot 5 = 60$ см².

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $60 \text{ см}^2$.