Номер 7, страница 93 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

7. Найдите область определения функции

$y = \frac{5}{x^2 - 9} + \sqrt{24 - 8x}.$

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Данная функция $y = \frac{5}{x^2-9} + \sqrt{24-8x}$ состоит из двух частей: дроби и квадратного корня. Для нахождения области определения необходимо, чтобы оба выражения были определены.

1. Рассмотрим дробное выражение $\frac{5}{x^2-9}$. Оно определено, когда его знаменатель не равен нулю, так как на ноль делить нельзя.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:

$x^2 - 9 = 0$

Используя формулу разности квадратов, получаем:

$(x - 3)(x + 3) = 0$

Это равенство верно, если $x - 3 = 0$ или $x + 3 = 0$.

Таким образом, $x = 3$ или $x = -3$.

Следовательно, для существования дробного выражения необходимо, чтобы $x \neq 3$ и $x \neq -3$.

2. Рассмотрим выражение с квадратным корнем $\sqrt{24-8x}$. Квадратный корень из числа определён только в том случае, если подкоренное выражение неотрицательно (больше или равно нулю).

Составим и решим неравенство:

$24 - 8x \ge 0$

Перенесем $8x$ в правую часть неравенства:

$24 \ge 8x$

Разделим обе части неравенства на 8. Так как 8 — положительное число, знак неравенства не меняется:

$3 \ge x$

Это эквивалентно записи $x \le 3$.

3. Теперь найдем пересечение полученных условий. Область определения функции — это все значения $x$, которые удовлетворяют системе:

$ \begin{cases} x \neq 3 \\ x \neq -3 \\ x \le 3 \end{cases} $

Условие $x \le 3$ означает все числа, меньшие или равные 3. Из этого множества мы должны исключить точки $x=3$ и $x=-3$.

Исключая $x=3$, получаем строгое неравенство $x < 3$.

Также нужно исключить точку $x=-3$.

Таким образом, область определения состоит из всех чисел, меньших 3, за исключением -3. В виде интервалов это записывается как объединение двух промежутков: от минус бесконечности до -3 и от -3 до 3.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; 3)$.