Номер 8, страница 93 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

8. Найдите значение выражения $75x_0$, где $x_0$ — наименьший корень уравнения $ \frac{x^2}{4x^2-4x+1} - \frac{4x}{2x-1} + 3 = 0. $

Для решения задачи сначала найдем корни уравнения $\frac{x^2}{4x^2 - 4x + 1} - \frac{4x}{2x - 1} + 3 = 0$.

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю: $4x^2 - 4x + 1 \neq 0$ и $2x - 1 \neq 0$. Заметим, что выражение $4x^2 - 4x + 1$ является полным квадратом: $4x^2 - 4x + 1 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 = (2x - 1)^2$. Таким образом, оба условия сводятся к одному: $(2x - 1)^2 \neq 0$, что равносильно $2x - 1 \neq 0$. Отсюда получаем, что $x \neq \frac{1}{2}$.

Перепишем исходное уравнение, подставив $(2x-1)^2$ в знаменатель первой дроби:

$\frac{x^2}{(2x - 1)^2} - \frac{4x}{2x - 1} + 3 = 0$.

Представим уравнение в виде $(\frac{x}{2x - 1})^2 - 4 \cdot (\frac{x}{2x - 1}) + 3 = 0$.

Введем замену переменной. Пусть $t = \frac{x}{2x - 1}$. Уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $t$:

$t^2 - 4t + 3 = 0$.

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $4$, а произведение равно $3$. Корни уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.

Теперь выполним обратную замену для каждого значения $t$.

При $t=1$ имеем: $\frac{x}{2x - 1} = 1$. Умножая обе части на $(2x-1)$ (что допустимо, так как $x \neq \frac{1}{2}$), получаем $x = 2x - 1$, откуда $x = 1$.

При $t=3$ имеем: $\frac{x}{2x - 1} = 3$. Умножая обе части на $(2x-1)$, получаем $x = 3(2x - 1)$, что равносильно $x = 6x - 3$. Отсюда $5x = 3$ и $x = \frac{3}{5}$.

Корни исходного уравнения: $1$ и $\frac{3}{5}$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

По условию, $x_0$ — наименьший корень уравнения. Сравним полученные корни: $1 = \frac{5}{5}$. Так как $\frac{3}{5} < \frac{5}{5}$, наименьшим корнем является $x_0 = \frac{3}{5}$.

Осталось найти значение выражения $75x_0$:

$75x_0 = 75 \cdot \frac{3}{5} = \frac{75}{5} \cdot 3 = 15 \cdot 3 = 45$.

Ответ: 45.