Номер 5, страница 94 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

5. $ABCD$ — прямоугольник, $O$ — точка пересечения его диагоналей. Угол $AOB$ равен $46^{\circ}$. Найдите угол $ADB$.

По условию, $ABCD$ — прямоугольник, а $O$ — точка пересечения его диагоналей $AC$ и $BD$.

Одно из ключевых свойств прямоугольника заключается в том, что его диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам. Это означает, что отрезки, соединяющие точку пересечения с вершинами, равны между собой: $AO = BO = CO = DO$.

Рассмотрим треугольник $AOD$. Так как $AO = DO$, этот треугольник является равнобедренным с основанием $AD$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть $\angle OAD = \angle ODA$. Угол $\angle ODA$ — это и есть искомый угол $\angle ADB$.

Углы $\angle AOB$ и $\angle AOD$ являются смежными, поскольку их стороны $OB$ и $OD$ лежат на одной прямой (диагонали $BD$). Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

Найдем величину угла $\angle AOD$: $\angle AOD = 180^\circ - \angle AOB$ $\angle AOD = 180^\circ - 46^\circ = 134^\circ$

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника $AOD$ справедливо равенство: $\angle AOD + \angle OAD + \angle ODA = 180^\circ$

Поскольку $\angle OAD = \angle ODA$, мы можем записать: $\angle AOD + 2 \cdot \angle ODA = 180^\circ$

Подставим известное значение $\angle AOD$ и найдем $\angle ODA$: $134^\circ + 2 \cdot \angle ODA = 180^\circ$ $2 \cdot \angle ODA = 180^\circ - 134^\circ$ $2 \cdot \angle ODA = 46^\circ$ $\angle ODA = \frac{46^\circ}{2} = 23^\circ$

Так как $\angle ODA$ и $\angle ADB$ — это один и тот же угол, то $\angle ADB = 23^\circ$.

Ответ: $23^\circ$