Номер 10, страница 95 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. $ABCD$ — вписанная трапеция. Центр $O$ описанной окружности лежит на большем основании $AD$, $CH$ — высота трапеции. Найдите площадь трапеции, если $AC = 10$ см, $HD = 4,5$ см.

Поскольку трапеция ABCD вписана в окружность, она является равнобедренной. Это означает, что её боковые стороны равны ($AB = CD$) и диагонали равны ($AC = BD$).

По условию, центр O описанной окружности лежит на большем основании AD. Это значит, что основание AD является диаметром этой окружности.

Так как AD — диаметр, то вписанный угол $\angle ACD$, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$. Следовательно, треугольник $\triangle ACD$ — прямоугольный с гипотенузой AD и катетами AC и CD. Высота CH, проведенная к основанию AD, является высотой этого прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе.

В прямоугольном треугольнике действуют метрические соотношения. В частности, квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу. Также, по теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Пусть длина большего основания $AD = x$.

Используя метрическое соотношение для катета CD, имеем: $CD^2 = HD \cdot AD$.

Подставляя известное значение $HD = 4.5$ см, получаем: $CD^2 = 4.5x$.

Теперь применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $\triangle ACD$: $AC^2 + CD^2 = AD^2$

Подставим известные и выраженные значения: $10^2 + 4.5x = x^2$

Получаем квадратное уравнение: $x^2 - 4.5x - 100 = 0$

Для удобства решения умножим все члены уравнения на 2: $2x^2 - 9x - 200 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-200) = 81 + 1600 = 1681$.

Корень из дискриминанта: $\sqrt{1681} = 41$.

Найдем корни уравнения. Так как $x$ — это длина, нас интересует только положительный корень: $x = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + 41}{2 \cdot 2} = \frac{50}{4} = 12.5$ см.

Таким образом, большее основание $AD = 12.5$ см.

Теперь найдем высоту CH. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CHD$. Сначала найдем длину боковой стороны CD. $CD^2 = HD \cdot AD = 4.5 \cdot 12.5 = 56.25$ $CD = \sqrt{56.25} = 7.5$ см.

По теореме Пифагора в $\triangle CHD$: $CH^2 = CD^2 - HD^2$ $CH^2 = 7.5^2 - 4.5^2 = (7.5 - 4.5)(7.5 + 4.5) = 3 \cdot 12 = 36$ $CH = \sqrt{36} = 6$ см.

Для нахождения площади трапеции нужно найти длину меньшего основания BC. Поскольку трапеция равнобедренная, если провести вторую высоту BK из вершины B, то отрезок $AK = HD = 4.5$ см. Меньшее основание BC будет равно отрезку KH. $BC = KH = AD - AK - HD = AD - 2 \cdot HD$ $BC = 12.5 - 2 \cdot 4.5 = 12.5 - 9 = 3.5$ см.

Наконец, найдем площадь трапеции ABCD по формуле: $S = \frac{AD + BC}{2} \cdot CH$ $S = \frac{12.5 + 3.5}{2} \cdot 6 = \frac{16}{2} \cdot 6 = 8 \cdot 6 = 48$ см².

Ответ: 48 см².