Номер 5, страница 96 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

5. $ABCD$ — прямоугольник, $O$ — точка пересечения его диагоналей. Угол $DBC$ равен $32^\circ$. Найдите угол $AOD$.

Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, его диагонали $AC$ и $BD$ в точке пересечения $O$ делятся пополам и равны между собой. Из этого следует, что все отрезки диагоналей от вершин до точки пересечения равны: $AO = BO = CO = DO$.

Рассмотрим треугольник $BOC$. Так как $BO = CO$, этот треугольник является равнобедренным с основанием $BC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, $\angle OCB = \angle OBC$.

По условию задачи $\angle DBC = 32^\circ$. Угол $\angle OBC$ — это тот же самый угол, что и $\angle DBC$, следовательно, $\angle OBC = 32^\circ$. Тогда и угол при другом основании треугольника $BOC$ также равен $32^\circ$: $\angle OCB = 32^\circ$.

Сумма углов любого треугольника составляет $180^\circ$. Для треугольника $BOC$ можем записать: $\angle BOC + \angle OBC + \angle OCB = 180^\circ$.

Отсюда найдем угол $\angle BOC$: $\angle BOC = 180^\circ - (\angle OBC + \angle OCB) = 180^\circ - (32^\circ + 32^\circ) = 180^\circ - 64^\circ = 116^\circ$.

Углы $\angle AOD$ и $\angle BOC$ являются вертикальными, так как они образованы пересечением двух прямых (диагоналей $AC$ и $BD$). Вертикальные углы равны между собой.

Следовательно, $\angle AOD = \angle BOC = 116^\circ$.

Ответ: $116^\circ$.