Номер 10, страница 97 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. $ABCD$ — вписанная трапеция. Центр $O$ описанной окружности лежит на большем основании $AD$, $BH$ — высота трапеции. Найдите площадь трапеции, если $BD = 20$ см, $AH = 9$ см.

Поскольку трапеция $ABCD$ вписана в окружность, она является равнобедренной. Это означает, что её боковые стороны равны ($AB = CD$) и углы при основаниях равны.

По условию, центр $O$ описанной окружности лежит на большем основании $AD$. Это означает, что $AD$ является диаметром этой окружности.

Угол, опирающийся на диаметр, является прямым. Следовательно, угол $\angle ABD$, который опирается на диаметр $AD$, равен $90^{\circ}$. Таким образом, треугольник $ABD$ является прямоугольным.

В прямоугольном треугольнике $ABD$ проведена высота $BH$ к гипотенузе $AD$. Воспользуемся метрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике. Высота $BH$ связана с отрезками гипотенузы $AH$ и $HD$ соотношением $BH^2 = AH \cdot HD$. Также, по теореме Пифагора для треугольника $BHD$, имеем $BD^2 = BH^2 + HD^2$.

Подставим известные значения $AH = 9$ см и $BD = 20$ см в эти соотношения:

$BH^2 = 9 \cdot HD$

$20^2 = BH^2 + HD^2 \Rightarrow 400 = BH^2 + HD^2$

Подставим первое уравнение во второе:

$400 = 9 \cdot HD + HD^2$

Мы получили квадратное уравнение относительно $HD$:

$HD^2 + 9 \cdot HD - 400 = 0$

Найдем его корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-400) = 81 + 1600 = 1681$

$\sqrt{D} = \sqrt{1681} = 41$

$HD = \frac{-9 \pm 41}{2}$

Поскольку длина отрезка не может быть отрицательной, выбираем положительный корень:

$HD = \frac{-9 + 41}{2} = \frac{32}{2} = 16$ см.

Теперь мы можем найти высоту трапеции $BH$:

$BH^2 = 9 \cdot HD = 9 \cdot 16 = 144$

$BH = \sqrt{144} = 12$ см.

Найдем длины оснований трапеции. Большее основание $AD$ равно сумме отрезков $AH$ и $HD$:

$AD = AH + HD = 9 + 16 = 25$ см.

Для нахождения меньшего основания $BC$ проведем вторую высоту $CK$ из вершины $C$ на основание $AD$. В равнобедренной трапеции отрезки, отсекаемые высотами от вершин большего основания, равны, то есть $KD = AH = 9$ см. Четырехугольник $HBCK$ является прямоугольником, поэтому $BC = HK$.

$BC = AD - AH - KD = 25 - 9 - 9 = 7$ см.

Теперь вычислим площадь трапеции $S_{ABCD}$ по формуле площади трапеции через полусумму оснований и высоту:

$S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot BH = \frac{25 + 7}{2} \cdot 12 = \frac{32}{2} \cdot 12 = 16 \cdot 12 = 192$ см$^2$.

Стоит отметить, что площадь равнобедренной трапеции также можно найти как произведение её высоты на длину отрезка, на который высота делит большее основание, считая от дальней вершины (этот отрезок равен средней линии трапеции). В нашем случае это произведение $HD \cdot BH$.

$S_{ABCD} = HD \cdot BH = 16 \cdot 12 = 192$ см$^2$.

Ответ: 192 см$^2$.