Номер 7, страница 99 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

7. График функции $f(x) = a(x - m)^2 + n$ изображен на рисунке. Используя график функции, найдите $a$, $m$ и $n$. Запишите формулу функции $y = f(x)$ в виде многочлена.

Найдем a, m и n

Функция задана в виде $f(x) = a(x - m)² + n$. Это вершинная форма параболы, где точка с координатами $(m, n)$ является ее вершиной.

Из графика видно, что вершина параболы находится в точке с координатами $(2, 1)$.

Сравнивая координаты вершины $(m, n)$ с найденной точкой $(2, 1)$, получаем:

$m = 2$

$n = 1$

Теперь, чтобы найти коэффициент $a$, подставим значения $m$ и $n$, а также координаты любой другой точки с графика в уравнение функции. Выберем точку, которая легко читается, например, точку пересечения с осью $y$: $(0, 5)$.

Подставляем $x = 0$, $f(x) = 5$, $m = 2$ и $n = 1$ в исходное уравнение:

$5 = a(0 - 2)² + 1$

$5 = a(-2)² + 1$

$5 = 4a + 1$

Решаем уравнение относительно $a$:

$4a = 5 - 1$

$4a = 4$

$a = 1$

Ответ: $a = 1, m = 2, n = 1$.

Запишем формулу функции y = f(x) в виде многочлена

Теперь подставим найденные значения $a, m, n$ в вершинную формулу:

$y = 1 \cdot (x - 2)² + 1$

Чтобы получить многочлен, раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, и приведем подобные слагаемые:

$y = (x² - 2 \cdot x \cdot 2 + 2²) + 1$

$y = (x² - 4x + 4) + 1$

$y = x² - 4x + 5$

Ответ: $y = x² - 4x + 5$.