Номер 8, страница 99 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

8. Найдите сумму целых решений системы неравенств

$\begin{cases} 9 - 4x < 0, \\ x^2 - 5x \le -4. \end{cases}$

Для того чтобы найти сумму целых решений системы неравенств, необходимо последовательно решить каждое из них, найти общее решение для системы, а затем определить, какие целые числа входят в это решение, и вычислить их сумму.

Начнем с первого неравенства: $9 - 4x < 0$. Перенесем 9 в правую часть: $-4x < -9$. Разделим обе части на -4. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $x > \frac{-9}{-4}$, то есть $x > \frac{9}{4}$ или $x > 2.25$. Таким образом, решение первого неравенства — это все числа, большие 2.25, что можно записать в виде интервала $(2.25; +\infty)$.

Перейдем ко второму неравенству: $x^2 - 5x \le -4$. Перенесем -4 в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное неравенство: $x^2 - 5x + 4 \le 0$. Для его решения найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение — 4. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$. Графиком функции $y = x^2 - 5x + 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх, поскольку коэффициент при $x^2$ положителен. Значения функции не положительны ($y \le 0$) на отрезке между корнями, включая сами корни. Следовательно, решение второго неравенства — это отрезок $[1; 4]$.

Решением системы неравенств является пересечение множеств решений каждого из неравенств: $(2.25; +\infty) \cap [1; 4]$. Общим для этих двух промежутков является полуинтервал $(2.25; 4]$.

Теперь найдем все целые числа, принадлежащие этому полуинтервалу. Условию $2.25 < x \le 4$ удовлетворяют целые числа 3 и 4.

Последний шаг — найти сумму этих целых решений: $3 + 4 = 7$.

Ответ: 7