Номер 5, страница 100 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

5. В прямоугольном треугольнике $ABC$ $\angle A = 90^\circ$, высота $AK = 24$ см, $BK = 18$ см. Найдите косинус угла $C$.

Поскольку $AK$ является высотой в прямоугольном треугольнике $ABC$, проведенной из вершины прямого угла $A$ к гипотенузе $BC$, она делит треугольник $ABC$ на два меньших прямоугольных треугольника: $AKB$ и $AKC$. Все три треугольника ($ABC$, $AKB$ и $AKC$) подобны друг другу.

В прямоугольных треугольниках существует метрическое соотношение, связывающее высоту, проведенную к гипотенузе, и отрезки, на которые она делит гипотенузу: квадрат высоты равен произведению проекций катетов на гипотенузу. В нашем случае $BK$ и $CK$ являются проекциями катетов $AB$ и $AC$ на гипотенузу $BC$.

Следовательно, $AK^2 = BK \cdot CK$.
Подставим известные значения:
$24^2 = 18 \cdot CK$
$576 = 18 \cdot CK$
$CK = \frac{576}{18} = 32$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $AKC$, в котором $\angle AKC = 90^\circ$. Косинус угла $C$ по определению равен отношению прилежащего катета $CK$ к гипотенузе $AC$.
$\cos C = \frac{CK}{AC}$

Чтобы найти $\cos C$, нам нужно найти длину гипотенузы $AC$. Применим теорему Пифагора к треугольнику $AKC$:
$AC^2 = AK^2 + CK^2$
$AC^2 = 24^2 + 32^2$
$AC^2 = 576 + 1024$
$AC^2 = 1600$
$AC = \sqrt{1600} = 40$ см.

Теперь мы можем вычислить косинус угла $C$:
$\cos C = \frac{CK}{AC} = \frac{32}{40} = \frac{4}{5} = 0,8$.

Ответ: 0,8.