Номер 10, страница 101 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. $ABCD$ — прямоугольник, точки $M$ и $K$ лежат на сторонах $AB$ и $CD$ соответственно, $MK \parallel AD$. Диагональ $AC$ пересекает отрезок $MK$ в точке $P$. $S_{CPK} = 9 \text{ см}^2$, $S_{AMP} = 16 \text{ см}^2$.

Найдите площадь прямоугольника $ABCD$.

Рассмотрим треугольники $AMP$ и $CKP$.

1. Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, его противоположные стороны параллельны, то есть $AB \parallel CD$. Прямая $AC$ является секущей для этих параллельных прямых, поэтому накрест лежащие углы равны: $\angle PAC = \angle KCA$ (или $\angle MAP = \angle KCP$).

2. Углы $\angle APM$ и $\angle CPK$ равны как вертикальные.

Из этих двух пунктов следует, что треугольники $AMP$ и $CKP$ подобны по двум углам ($\triangle AMP \sim \triangle CKP$).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия $k$:

$\frac{S_{AMP}}{S_{CKP}} = k^2$

Подставим известные значения площадей:

$k^2 = \frac{16}{9}$

$k = \sqrt{\frac{16}{9}} = \frac{4}{3}$

Коэффициент подобия — это также отношение соответственных сторон треугольников:

$\frac{AM}{CK} = \frac{AP}{CP} = \frac{MP}{KP} = \frac{4}{3}$

Теперь рассмотрим треугольники $AMP$ и $CMP$. У них общая вершина $M$, а их основания $AP$ и $CP$ лежат на одной прямой $AC$. Следовательно, отношение их площадей равно отношению их оснований:

$\frac{S_{AMP}}{S_{CMP}} = \frac{AP}{CP} = \frac{4}{3}$

Отсюда можем найти площадь треугольника $CMP$:

$S_{CMP} = S_{AMP} \cdot \frac{CP}{AP} = 16 \cdot \frac{3}{4} = 12 \text{ см}^2$

Аналогично рассмотрим треугольники $APK$ и $CPK$. У них общая вершина $K$, а их основания $AP$ и $CP$ лежат на одной прямой $AC$. Отношение их площадей равно отношению их оснований:

$\frac{S_{APK}}{S_{CPK}} = \frac{AP}{CP} = \frac{4}{3}$

Найдем площадь треугольника $APK$:

$S_{APK} = S_{CPK} \cdot \frac{AP}{CP} = 9 \cdot \frac{4}{3} = 12 \text{ см}^2$

Теперь найдем площади треугольников $AMC$ и $AKC$:

$S_{AMC} = S_{AMP} + S_{CMP} = 16 + 12 = 28 \text{ см}^2$

$S_{AKC} = S_{APK} + S_{CPK} = 12 + 9 = 21 \text{ см}^2$

Площадь треугольника $AMC$ можно вычислить как половину произведения основания $AM$ на высоту. Высотой, проведенной из вершины $C$ к прямой $AB$ (на которой лежит основание $AM$), является сторона прямоугольника $BC$.

$S_{AMC} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot BC$

Площадь треугольника $AKC$ можно вычислить как половину произведения основания $KC$ на высоту. Высотой, проведенной из вершины $A$ к прямой $CD$ (на которой лежит основание $KC$), является сторона прямоугольника $AD$.

$S_{AKC} = \frac{1}{2} \cdot KC \cdot AD$

Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, $AD=BC$. Тогда:

$\frac{1}{2} \cdot AM \cdot AD = 28 \Rightarrow AM \cdot AD = 56 \text{ см}^2$

$\frac{1}{2} \cdot KC \cdot AD = 21 \Rightarrow KC \cdot AD = 42 \text{ см}^2$

По условию $MK \parallel AD$. Так как $ABCD$ — прямоугольник, $AD \perp AB$ и $AD \perp CD$. Следовательно, $MK$ также перпендикулярна сторонам $AB$ и $CD$. Это означает, что $MBCK$ является прямоугольником, и, следовательно, $MB = KC$.

Площадь всего прямоугольника $ABCD$ равна произведению его сторон $AB$ и $AD$:

$S_{ABCD} = AB \cdot AD = (AM + MB) \cdot AD$

Заменяя $MB$ на $KC$, получаем:

$S_{ABCD} = (AM + KC) \cdot AD = AM \cdot AD + KC \cdot AD$

Подставим найденные значения:

$S_{ABCD} = 56 + 42 = 98 \text{ см}^2$

Ответ: $98 \text{ см}^2$.