Номер 6, страница 102 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

6. Упростите выражение $\frac{x^2 - 4x + 4}{(x+5)^2 - 49}$.

6.

Для того чтобы упростить данное выражение, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель дроби.

1. Разложим на множители числитель $x^2 - 4x + 4$. Это выражение является полным квадратом разности и соответствует формуле сокращенного умножения $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В данном случае $a=x$ и $b=2$. Проверим соответствие:

$a^2 - 2ab + b^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = x^2 - 4x + 4$.

Таким образом, числитель можно представить в виде $(x-2)^2$.

2. Теперь разложим на множители знаменатель $(x+5)^2 - 49$. Это выражение является разностью квадратов и соответствует формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

В данном случае $a = (x+5)$ и $b^2 = 49$, следовательно, $b = 7$.

Применим формулу:

$(x+5)^2 - 7^2 = ((x+5) - 7)((x+5) + 7)$.

Упростим выражения в скобках:

$(x+5-7)(x+5+7) = (x-2)(x+12)$.

3. Подставим разложенные на множители числитель и знаменатель обратно в исходную дробь:

$\frac{x^2 - 4x + 4}{(x+5)^2 - 49} = \frac{(x-2)^2}{(x-2)(x+12)}$

4. Сократим полученную дробь на общий множитель $(x-2)$. Это возможно при условии, что $x-2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$. Также знаменатель исходной дроби не должен быть равен нулю, то есть $(x-2)(x+12) \neq 0$, откуда $x \neq 2$ и $x \neq -12$.

$\frac{(x-2) \cdot (x-2)}{(x-2) \cdot (x+12)} = \frac{x-2}{x+12}$

Ответ: $\frac{x-2}{x+12}$