Номер 9, страница 103 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

9. Найдите сумму целых решений системы неравенств

$\begin{cases} \frac{x+5}{x} \le 0, \\ x^2 + 4x > -3. \end{cases}$

Для решения данной системы неравенств необходимо найти множество решений для каждого неравенства по отдельности, а затем найти пересечение этих множеств.

Решение первого неравенства: $ \frac{x+5}{x} \le 0 $

Это дробно-рациональное неравенство, которое решается методом интервалов.
1. Находим нули числителя и знаменателя.
Числитель: $ x+5=0 \Rightarrow x=-5 $. Поскольку неравенство нестрогое ($ \le $), эта точка включается в решение.
Знаменатель: $ x=0 $. Точка $ x=0 $ исключается из решения, так как знаменатель не может быть равен нулю.
2. Отмечаем точки на числовой оси. Они разбивают ось на три интервала: $ (-\infty; -5] $, $ [-5; 0) $ и $ (0; +\infty) $.
3. Определяем знак выражения $ \frac{x+5}{x} $ на каждом интервале:

• Для $ x \in (-\infty; -5) $, например $ x=-6 $: $ \frac{-6+5}{-6} = \frac{-1}{-6} > 0 $
• Для $ x \in (-5; 0) $, например $ x=-1 $: $ \frac{-1+5}{-1} = \frac{4}{-1} < 0 $
• Для $ x \in (0; +\infty) $, например $ x=1 $: $ \frac{1+5}{1} = 6 > 0 $

Нам нужны значения $ x $, при которых выражение меньше или равно нулю.
Таким образом, решение первого неравенства: $ x \in [-5; 0) $.

Решение второго неравенства: $ x^2+4x > -3 $

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное неравенство:
$ x^2+4x+3 > 0 $
1. Найдем корни соответствующего уравнения $ x^2+4x+3=0 $.
Используя теорему Виета, получаем, что сумма корней равна $ -4 $, а их произведение равно $ 3 $. Корнями являются $ x_1=-3 $ и $ x_2=-1 $.
2. Графиком функции $ y=x^2+4x+3 $ является парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $ x^2 $ положителен).
3. Парабола находится выше оси Ox (то есть $ y > 0 $) на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня.
Таким образом, решение второго неравенства: $ x \in (-\infty; -3) \cup (-1; +\infty) $.

Нахождение решения системы и суммы целых решений

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $ [-5; 0) $ и $ (-\infty; -3) \cup (-1; +\infty) $.
Пересечение множества $ [-5; 0) $ с $ (-\infty; -3) $ дает интервал $ [-5; -3) $.
Пересечение множества $ [-5; 0) $ с $ (-1; +\infty) $ дает интервал $ (-1; 0) $.
Общее решение системы: $ x \in [-5; -3) \cup (-1; 0) $.
Найдем целые числа, принадлежащие этому объединению интервалов.

• В интервале $ [-5; -3) $ содержатся целые числа: $ -5, -4 $.
• В интервале $ (-1; 0) $ целых чисел нет.

Итак, целыми решениями системы являются числа $ -5 $ и $ -4 $.
Сумма этих целых решений равна:
$ S = (-5) + (-4) = -9 $.

Ответ: -9