Номер 10, страница 103 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. В треугольнике $\triangle ABC$ проведены отрезки $MK \parallel AC$ и $KE \parallel AB$, где точки $M$, $K$ и $E$ принадлежат сторонам $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно. Площадь треугольника $\triangle MBK$ равна $9 \text{ см}^2$, треугольника $\triangle EKC$ — $16 \text{ см}^2$. Найдите площадь четырехугольника $AMKE$.

Решение:

По условию, в треугольнике $ABC$ проведены отрезки $MK \parallel AC$ и $KE \parallel AB$.

Рассмотрим четырехугольник $AMKE$. Так как его противолежащие стороны попарно параллельны ($AM$ лежит на $AB$, $KE \parallel AB$, значит $AM \parallel KE$; $MK \parallel AC$, $AE$ лежит на $AC$, значит $MK \parallel AE$), то $AMKE$ является параллелограммом.

Рассмотрим треугольник $MBK$ и треугольник $ABC$.

Поскольку $MK \parallel AC$, то треугольник $MBK$ подобен треугольнику $ABC$ ($\triangle MBK \sim \triangle ABC$). Это следует из того, что $\angle B$ у них общий, а $\angle BMK = \angle BAC$ как соответственные углы при параллельных прямых $MK$ и $AC$ и секущей $AB$.

Аналогично, рассмотрим треугольник $EKC$ и треугольник $ABC$.

Поскольку $KE \parallel AB$, то треугольник $EKC$ подобен треугольнику $ABC$ ($\triangle EKC \sim \triangle ABC$). Угол $\angle C$ у них общий, а $\angle CEK = \angle CAB$ как соответственные углы при параллельных прямых $KE$ и $AB$ и секущей $AC$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Пусть $S_{ABC}$ — площадь треугольника $ABC$.

Для пары подобных треугольников $\triangle MBK$ и $\triangle ABC$ коэффициент подобия $k_1 = \frac{BK}{BC}$. Тогда отношение их площадей: $\frac{S_{MBK}}{S_{ABC}} = (\frac{BK}{BC})^2$

Для пары подобных треугольников $\triangle EKC$ и $\triangle ABC$ коэффициент подобия $k_2 = \frac{KC}{BC}$. Тогда отношение их площадей: $\frac{S_{EKC}}{S_{ABC}} = (\frac{KC}{BC})^2$

Подставим известные значения площадей $S_{MBK} = 9$ см² и $S_{EKC} = 16$ см²: $\frac{9}{S_{ABC}} = (\frac{BK}{BC})^2 \Rightarrow \frac{BK}{BC} = \sqrt{\frac{9}{S_{ABC}}} = \frac{3}{\sqrt{S_{ABC}}}$
$\frac{16}{S_{ABC}} = (\frac{KC}{BC})^2 \Rightarrow \frac{KC}{BC} = \sqrt{\frac{16}{S_{ABC}}} = \frac{4}{\sqrt{S_{ABC}}}$

Точка $K$ лежит на стороне $BC$, поэтому $BC = BK + KC$. Разделим обе части этого равенства на $BC$: $1 = \frac{BK}{BC} + \frac{KC}{BC}$

Подставим в это равенство полученные ранее выражения: $1 = \frac{3}{\sqrt{S_{ABC}}} + \frac{4}{\sqrt{S_{ABC}}}$
$1 = \frac{7}{\sqrt{S_{ABC}}}$
$\sqrt{S_{ABC}} = 7$
$S_{ABC} = 7^2 = 49$ см².

Площадь всего треугольника $ABC$ складывается из площадей треугольников $MBK$, $EKC$ и параллелограмма $AMKE$: $S_{ABC} = S_{MBK} + S_{EKC} + S_{AMKE}$

Отсюда можем найти площадь четырехугольника $AMKE$: $S_{AMKE} = S_{ABC} - S_{MBK} - S_{EKC}$
$S_{AMKE} = 49 - 9 - 16 = 24$ см².

Ответ: 24 см².