Номер 6, страница 104 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

6. Упростите выражение $ \frac{y^2 + 14y + 49}{(y+3)^2 - 16} $

Для того чтобы упростить заданное выражение, необходимо разложить его числитель и знаменатель на множители, а затем сократить полученную дробь.

1. Разложение числителя на множители.

Числитель дроби $y^2 + 14y + 49$ является полным квадратом. Воспользуемся формулой квадрата суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.

В нашем случае $a = y$ и $b = 7$. Проверка среднего члена: $2 \cdot y \cdot 7 = 14y$.

Следовательно, числитель можно записать в виде $(y+7)^2$.

2. Разложение знаменателя на множители.

Знаменатель дроби $(y+3)^2 - 16$ представляет собой разность квадратов. Воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

В данном случае $a = (y+3)$, а $b^2 = 16$, значит $b = 4$.

Следовательно, знаменатель можно разложить следующим образом: $(y+3)^2 - 4^2 = ((y+3)-4)((y+3)+4) = (y-1)(y+7)$.

3. Упрощение выражения.

Теперь подставим разложенные на множители числитель и знаменатель в исходную дробь: $\frac{y^2 + 14y + 49}{(y + 3)^2 - 16} = \frac{(y+7)^2}{(y-1)(y+7)}$.

Сократим полученную дробь на общий множитель $(y+7)$. Это действие допустимо при условии, что знаменатель не равен нулю, то есть $(y-1)(y+7) \neq 0$, откуда $y \neq 1$ и $y \neq -7$. $\frac{(y+7) \cdot (y+7)}{(y-1) \cdot (y+7)} = \frac{y+7}{y-1}$.

Ответ: $\frac{y+7}{y-1}$