Номер 9, страница 105 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

9. Найдите сумму целых решений системы неравенств

$ \begin{cases} \frac{x-3}{x+5} \le 0, \\ x^2 + 3x > -2. \end{cases} $

Чтобы найти сумму целых решений системы, решим каждое неравенство по отдельности, найдем пересечение их решений, а затем просуммируем все целые числа из этого пересечения.

Решение первого неравенства $ \frac{x-3}{x+5} \le 0 $

Используем метод интервалов. Находим точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль. $x-3=0 \implies x=3$. Эта точка включается в решение, так как неравенство нестрогое. $x+5=0 \implies x=-5$. Эта точка исключается из решения, так как на ноль делить нельзя.

Отмечаем точки $-5$ и $3$ на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty, -5)$, $(-5, 3)$ и $(3, \infty)$.

Определяем знак дроби на каждом интервале:

• При $x < -5$ (например, $x=-6$), дробь $ \frac{-6-3}{-6+5} = 9 > 0 $.
• При $-5 < x < 3$ (например, $x=0$), дробь $ \frac{0-3}{0+5} = -0.6 < 0 $.
• При $x > 3$ (например, $x=4$), дробь $ \frac{4-3}{4+5} = \frac{1}{9} > 0 $.

Нас интересуют значения, при которых дробь меньше или равна нулю. Это интервал $(-5, 3)$ и точка $x=3$.

Следовательно, решение первого неравенства: $x \in (-5, 3]$.

Решение второго неравенства $ x^2 + 3x > -2 $

Переносим все слагаемые в левую часть: $ x^2 + 3x + 2 > 0 $.

Это квадратичное неравенство. Найдем корни соответствующего уравнения $ x^2 + 3x + 2 = 0 $.

Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = -1$.

Графиком функции $y=x^2 + 3x + 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Значения функции будут положительны вне интервала между корнями.

Поскольку неравенство строгое, сами корни в решение не входят.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, -2) \cup (-1, +\infty)$.

Нахождение целых решений системы и их суммы

Теперь найдем пересечение множеств решений обоих неравенств: $ (-5, 3] \cap ((-\infty, -2) \cup (-1, +\infty)) $.

Результатом пересечения является объединение двух интервалов: $ (-5, -2) \cup (-1, 3] $.

Выпишем все целые числа, которые принадлежат этому множеству:

• Целые числа из интервала $(-5, -2)$: $-4, -3$.
• Целые числа из интервала $(-1, 3]$: $0, 1, 2, 3$.

Таким образом, все целые решения системы: $-4, -3, 0, 1, 2, 3$.

Найдем их сумму: $ S = (-4) + (-3) + 0 + 1 + 2 + 3 = -7 + 6 = -1 $.

Ответ: -1