Номер 6, страница 106 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

6. Высота $DH$ ромба $ABCD$ делит сторону $BC$ на отрезки $BH = 8$ см и $HC = 12$ см. Найдите площадь ромба.

Поскольку ABCD является ромбом, все его стороны равны. Обозначим длину стороны как $a$.

Высота $DH$ опущена на сторону $BC$, причём точка $H$ лежит на этой стороне. Следовательно, длину стороны $BC$ можно найти, сложив длины отрезков $BH$ и $HC$.

$a = BC = BH + HC = 8 \text{ см} + 12 \text{ см} = 20 \text{ см}$.

Таким образом, все стороны ромба равны $20 \text{ см}$, в том числе и сторона $CD$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $DHC$. Так как $DH$ является высотой, то угол $\angle DHC = 90^\circ$. В этом треугольнике гипотенуза $CD = 20 \text{ см}$, а один из катетов $HC = 12 \text{ см}$. Мы можем найти длину второго катета, то есть высоту $DH$, используя теорему Пифагора: $CD^2 = DH^2 + HC^2$.

Выразим и вычислим $DH$: $DH^2 = CD^2 - HC^2$ $DH^2 = 20^2 - 12^2 = 400 - 144 = 256$ $DH = \sqrt{256} = 16 \text{ см}$.

Площадь ромба ($S$) равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне. $S = BC \cdot DH$ $S = 20 \text{ см} \cdot 16 \text{ см} = 320 \text{ см}^2$.

Ответ: $320 \text{ см}^2$.