Номер 7, страница 106 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

7. Найдите наименьшее целое значение аргумента, принадлежащее области определения функции $y = \frac{\sqrt{x+8}}{x^2-2x-80}$.

Для нахождения области определения функции $y = \frac{\sqrt{x+8}}{x^2 - 2x - 80}$ необходимо рассмотреть два условия, которые должны выполняться одновременно.

1. Условие для подкоренного выражения

Выражение, находящееся под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным (больше или равно нулю), так как извлекать квадратный корень из отрицательного числа в области действительных чисел нельзя.

$x + 8 \ge 0$

Перенеся 8 в правую часть неравенства, получаем:

$x \ge -8$

2. Условие для знаменателя дроби

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю, так как деление на ноль не определено.

$x^2 - 2x - 80 \ne 0$

Чтобы найти недопустимые значения $x$, решим соответствующее квадратное уравнение:

$x^2 - 2x - 80 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-80) = 4 + 320 = 324$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{324}}{2} = \frac{2 - 18}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{324}}{2} = \frac{2 + 18}{2} = \frac{20}{2} = 10$

Таким образом, знаменатель обращается в ноль при $x = -8$ и $x = 10$. Эти значения необходимо исключить из области определения.

Поиск наименьшего целого значения аргумента

Объединим все условия в систему:

$\begin{cases} x \ge -8 \\ x \ne -8 \\ x \ne 10 \end{cases}$

Из первых двух условий ($x \ge -8$ и $x \ne -8$) следует, что $x$ должен быть строго больше $-8$, то есть $x > -8$. С учетом третьего условия, область определения функции — это все числа, которые больше $-8$, кроме числа $10$. В виде интервалов это записывается как $x \in (-8, 10) \cup (10, +\infty)$.

Теперь найдем наименьшее целое значение аргумента, принадлежащее этой области. Мы ищем наименьшее целое число $x$, которое удовлетворяет условию $x > -8$.

Целые числа, которые больше $-8$: $-7, -6, -5, -4, \ldots$

Наименьшим из этих целых чисел является $-7$. Это значение входит в область определения, так как $-7 \ne 10$.

Ответ: -7