номер 10, страница 105 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. В треугольнике $ABC$ проведены отрезки $MK \parallel AC$ и $KE \parallel AB$, где точки $M, K$ и $E$ принадлежат сторонам $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно. Площадь треугольника $MBK$ равна $16$ см$^2$, треугольника $EKC$ — $25$ см$^2$. Найдите площадь четырехугольника $AMKE$.

Поскольку по условию $MK \parallel AC$ (значит, $MK \parallel AE$) и $KE \parallel AB$ (значит, $KE \parallel AM$), четырехугольник $AMKE$ является параллелограммом.

Рассмотрим треугольник $\triangle MBK$. Так как $MK \parallel AC$, то треугольник $\triangle MBK$ подобен треугольнику $\triangle ABC$ по двум углам ($\angle B$ — общий, $\angle BMK = \angle BAC$ как соответственные углы при параллельных прямых $MK$ и $AC$ и секущей $AB$).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия $k_1$.

$\frac{S_{MBK}}{S_{ABC}} = (\frac{BK}{BC})^2 = k_1^2$

Подставив известные значения, получаем:

$\frac{16}{S_{ABC}} = (\frac{BK}{BC})^2 \Rightarrow \frac{BK}{BC} = \sqrt{\frac{16}{S_{ABC}}} = \frac{4}{\sqrt{S_{ABC}}}$

Рассмотрим треугольник $\triangle EKC$. Так как $KE \parallel AB$, то треугольник $\triangle EKC$ подобен треугольнику $\triangle ABC$ по двум углам ($\angle C$ — общий, $\angle CKE = \angle CBA$ как соответственные углы при параллельных прямых $KE$ и $AB$ и секущей $BC$).

Отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия $k_2$.

$\frac{S_{EKC}}{S_{ABC}} = (\frac{KC}{BC})^2 = k_2^2$

Подставив известные значения, получаем:

$\frac{25}{S_{ABC}} = (\frac{KC}{BC})^2 \Rightarrow \frac{KC}{BC} = \sqrt{\frac{25}{S_{ABC}}} = \frac{5}{\sqrt{S_{ABC}}}$

Точка $K$ лежит на стороне $BC$, следовательно, $BK + KC = BC$. Разделим обе части этого равенства на $BC$:

$\frac{BK}{BC} + \frac{KC}{BC} = 1$

Теперь подставим выражения, которые мы получили ранее:

$\frac{4}{\sqrt{S_{ABC}}} + \frac{5}{\sqrt{S_{ABC}}} = 1$

$\frac{9}{\sqrt{S_{ABC}}} = 1$

Отсюда следует, что $\sqrt{S_{ABC}} = 9$, а значит, площадь всего треугольника $ABC$ равна $S_{ABC} = 9^2 = 81$ см².

Площадь треугольника $ABC$ складывается из площадей треугольников $MBK$, $EKC$ и параллелограмма $AMKE$.

$S_{ABC} = S_{MBK} + S_{EKC} + S_{AMKE}$

Чтобы найти площадь четырехугольника $AMKE$, вычтем из площади всего треугольника площади двух меньших треугольников:

$S_{AMKE} = S_{ABC} - S_{MBK} - S_{EKC} = 81 - 16 - 25 = 40$ см².

Ответ: 40 см².