Номер 5, страница 106 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

5. Сократите дробь $\frac{b+2\sqrt{b}+1}{\sqrt{b}+b}$.

5. Для того чтобы сократить данную дробь, необходимо разложить её числитель и знаменатель на множители.

Исходная дробь: $\frac{b + 2\sqrt{b} + 1}{\sqrt{b} + b}$.

Прежде всего, определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $b$. Поскольку в выражении присутствует квадратный корень $\sqrt{b}$, должно выполняться условие $b \ge 0$. Также знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $\sqrt{b} + b \ne 0$. Решим уравнение $\sqrt{b} + b = 0$. Вынесем $\sqrt{b}$ за скобки: $\sqrt{b}(1 + \sqrt{b}) = 0$. Это равенство выполняется только при $b=0$. Таким образом, чтобы знаменатель не был равен нулю, необходимо, чтобы $b \ne 0$. Совмещая оба условия ($b \ge 0$ и $b \ne 0$), получаем ОДЗ: $b > 0$.

Теперь преобразуем числитель дроби: $b + 2\sqrt{b} + 1$.

Заметим, что $b$ можно представить как $(\sqrt{b})^2$. Тогда выражение в числителе примет вид: $(\sqrt{b})^2 + 2\cdot\sqrt{b}\cdot 1 + 1^2$.

Данное выражение является полным квадратом суммы, который раскладывается по формуле $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. В нашем случае $x = \sqrt{b}$ и $y = 1$.

Следовательно, числитель можно записать в виде $( \sqrt{b} + 1 )^2$.

Далее преобразуем знаменатель: $\sqrt{b} + b$.

Вынесем общий множитель $\sqrt{b}$ за скобки: $\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = \sqrt{b}(1 + \sqrt{b})$.

Подставим полученные выражения для числителя и знаменателя обратно в дробь:

$\frac{(\sqrt{b} + 1)^2}{\sqrt{b}(1 + \sqrt{b})}$

Поскольку от перемены мест слагаемых сумма не меняется ($1 + \sqrt{b} = \sqrt{b} + 1$), мы видим, что в числителе и знаменателе есть общий множитель $(\sqrt{b} + 1)$. Так как в ОДЗ $b > 0$, то $\sqrt{b} + 1 > 1$, то есть множитель не равен нулю, и мы можем на него сократить:

$\frac{(\sqrt{b} + 1) \cdot (\sqrt{b} + 1)}{\sqrt{b}(\sqrt{b} + 1)} = \frac{\sqrt{b} + 1}{\sqrt{b}}$

Полученное выражение также можно представить в виде суммы: $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}} + \frac{1}{\sqrt{b}} = 1 + \frac{1}{\sqrt{b}}$. Оба варианта являются правильными.

Ответ: $\frac{\sqrt{b} + 1}{\sqrt{b}}$