Номер 10, страница 107 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. Найдите площадь прямоугольной трапеции с основаниями 4 см и 12 см, если известно, что в трапецию можно вписать окружность.

10.

Для нахождения площади трапеции используется формула $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота.

По условию, нам даны основания прямоугольной трапеции: $a = 4$ см и $b = 12$ см. Нам необходимо найти высоту $h$.

Ключевым свойством трапеции, в которую можно вписать окружность (описанной трапеции), является равенство сумм длин противоположных сторон. Обозначим боковые стороны трапеции как $c$ и $d$. Тогда выполняется равенство:
$a + b = c + d$

Так как трапеция прямоугольная, одна из ее боковых сторон перпендикулярна основаниям и равна высоте $h$. Пусть это будет сторона $c$. Тогда $c = h$.
Подставим известные значения в свойство описанной трапеции:
$4 + 12 = h + d$
$16 = h + d$
Отсюда выразим вторую боковую сторону $d$:
$d = 16 - h$

Теперь рассмотрим прямоугольную трапецию. Если из вершины тупого угла (при меньшем основании) опустить перпендикуляр на большее основание, то получится прямоугольный треугольник. Катетами этого треугольника будут высота трапеции $h$ и отрезок на большем основании, равный разности длин оснований $(b-a)$. Гипотенузой будет вторая (наклонная) боковая сторона $d$.
Длина катета, лежащего на основании: $b - a = 12 - 4 = 8$ см.

Применим к этому треугольнику теорему Пифагора ($катет^2 + катет^2 = гипотенуза^2$):
$h^2 + (b-a)^2 = d^2$
Подставим значения:
$h^2 + 8^2 = d^2$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
1) $d = 16 - h$
2) $h^2 + 64 = d^2$
Подставим выражение для $d$ из первого уравнения во второе:
$h^2 + 64 = (16 - h)^2$
Раскроем скобки в правой части:
$h^2 + 64 = 256 - 32h + h^2$
Сократим $h^2$ в обеих частях и решим линейное уравнение:
$64 = 256 - 32h$
$32h = 256 - 64$
$32h = 192$
$h = \frac{192}{32} = 6$ см.

Теперь, когда мы нашли высоту, можем вычислить площадь трапеции:
$S = \frac{4 + 12}{2} \cdot 6 = \frac{16}{2} \cdot 6 = 8 \cdot 6 = 48$ см².

Ответ: 48 см².