Номер 7, страница 108 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

7. Найдите наименьшее целое значение аргумента, принадлежащее области определения функции $y = \frac{\sqrt{x+12}}{x^2+2x-120}$.

Чтобы найти область определения функции $y = \frac{\sqrt{x+12}}{x^2+2x-120}$, необходимо учесть два условия:

1. Выражение, находящееся под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным.

$x + 12 \ge 0$

Перенеся 12 в правую часть неравенства, получаем:

$x \ge -12$

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

$x^2 + 2x - 120 \ne 0$

Чтобы найти значения $x$, которые необходимо исключить, решим соответствующее квадратное уравнение $x^2 + 2x - 120 = 0$.

Воспользуемся теоремой Виета. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

$x_1 + x_2 = -2$

$x_1 \cdot x_2 = -120$

Методом подбора находим корни: $x_1 = -12$ и $x_2 = 10$.

Проверка: $(-12) + 10 = -2$ и $(-12) \cdot 10 = -120$. Корни найдены верно.

Значит, $x$ не может быть равен $-12$ и $10$.

Теперь объединим оба условия. Область определения функции — это все значения $x$, которые удовлетворяют системе:

$\begin{cases} x \ge -12 \\ x \ne -12 \\ x \ne 10 \end{cases}$

Из первых двух условий ($x \ge -12$ и $x \ne -12$) следует, что $x > -12$.

Таким образом, область определения функции — это все числа $x$ такие, что $x > -12$ и $x \ne 10$. В виде интервалов это записывается как $(-12; 10) \cup (10; +\infty)$.

Задача состоит в том, чтобы найти наименьшее целое значение аргумента $x$ из этой области.

Мы ищем наименьшее целое число, которое строго больше $-12$. Первым таким целым числом является $-11$.

Это значение удовлетворяет всем условиям, так как $-11 > -12$ и $-11 \ne 10$.

Ответ: -11