Номер 10, страница 109 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. В прямоугольную трапецию с основаниями 6 см и 12 см вписана окружность. Найдите площадь трапеции.

Пусть $a = 6$ см и $b = 12$ см — основания прямоугольной трапеции. Обозначим её высоту как $h$, а наклонную боковую сторону как $c$. В прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям, и её длина равна высоте $h$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$. Для нахождения площади необходимо определить высоту $h$.

По условию, в трапецию вписана окружность. Согласно свойству описанного четырёхугольника, суммы длин его противоположных сторон равны. Для нашей трапеции это означает, что сумма оснований равна сумме боковых сторон: $a + b = h + c$.
Подставим известные значения: $6 + 12 = h + c$
$18 = h + c$.
Отсюда выразим наклонную боковую сторону $c$: $c = 18 - h$.

Чтобы найти ещё одну связь между $h$ и $c$, проведём из вершины меньшего основания, прилежащей к наклонной стороне, высоту к большему основанию. Эта высота отсечёт от трапеции прямоугольный треугольник. Катеты этого треугольника будут равны высоте трапеции $h$ и разности оснований $b - a$, а гипотенузой будет наклонная сторона $c$. Разность оснований равна $12 - 6 = 6$ см.
Применим теорему Пифагора: $c^2 = h^2 + (b-a)^2$
$c^2 = h^2 + 6^2 = h^2 + 36$.

Теперь мы имеем систему из двух уравнений:
1) $c = 18 - h$
2) $c^2 = h^2 + 36$
Подставим выражение для $c$ из первого уравнения во второе: $(18 - h)^2 = h^2 + 36$.
Раскроем квадрат разности в левой части: $324 - 36h + h^2 = h^2 + 36$.
Упростим уравнение: $324 - 36 = 36h$
$288 = 36h$.
Отсюда находим высоту $h$: $h = \frac{288}{36} = 8$ см.

Зная высоту, можем вычислить площадь трапеции: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{6+12}{2} \cdot 8 = \frac{18}{2} \cdot 8 = 9 \cdot 8 = 72$ см².

Ответ: 72 см².