Номер 7, страница 110 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

7. Решите уравнение

$1 + \frac{5}{m^2 - m - 6} = - \frac{1}{m + 2}$

Исходное уравнение: $1 + \frac{5}{m^2 - m - 6} = -\frac{1}{m+2}$.

Для решения этого дробно-рационального уравнения сначала найдем его область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны быть равны нулю.

1. Знаменатель $m^2 - m - 6 \neq 0$.
Чтобы найти значения m, которые нужно исключить, решим квадратное уравнение $m^2 - m - 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а их произведение равно -6. Легко подобрать корни: $m_1 = 3$ и $m_2 = -2$.
Следовательно, $m^2 - m - 6 = (m - 3)(m + 2)$.
Таким образом, $m \neq 3$ и $m \neq -2$.

2. Знаменатель $m + 2 \neq 0$.
Отсюда $m \neq -2$.

Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $m \neq 3$ и $m \neq -2$.

Теперь преобразуем уравнение. Перенесем все слагаемые в левую часть и заменим знаменатель $m^2 - m - 6$ на его разложение на множители:

$1 + \frac{5}{(m - 3)(m + 2)} + \frac{1}{m + 2} = 0$

Приведем все слагаемые к общему знаменателю $(m - 3)(m + 2)$:

$\frac{1 \cdot (m - 3)(m + 2)}{(m - 3)(m + 2)} + \frac{5}{(m - 3)(m + 2)} + \frac{1 \cdot (m - 3)}{(m + 2)(m - 3)} = 0$

Запишем левую часть в виде одной дроби:

$\frac{(m - 3)(m + 2) + 5 + (m - 3)}{(m - 3)(m + 2)} = 0$

Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю (что мы уже учли в ОДЗ). Приравняем числитель к нулю:

$(m - 3)(m + 2) + 5 + m - 3 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$(m^2 + 2m - 3m - 6) + 5 + m - 3 = 0$

$m^2 - m - 6 + 5 + m - 3 = 0$

$m^2 + (-m + m) + (-6 + 5 - 3) = 0$

$m^2 - 4 = 0$

Решим полученное неполное квадратное уравнение:

$m^2 = 4$

$m = \pm\sqrt{4}$

$m_1 = 2$, $m_2 = -2$.

Теперь необходимо проверить, соответствуют ли найденные корни ОДЗ ($m \neq 3$ и $m \neq -2$).

Корень $m_1 = 2$ удовлетворяет ОДЗ, так как $2 \neq 3$ и $2 \neq -2$.

Корень $m_2 = -2$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при $m = -2$ знаменатели исходных дробей обращаются в ноль. Следовательно, $m = -2$ является посторонним корнем.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: 2