Номер 9, страница 111 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

9. Плиточник планирует уложить $300 \text{ м}^2$ плитки. Если он будет укладывать на $5 \text{ м}^2$ в день больше, чем планировал, то закончит работу на 5 дней раньше. Сколько квадратных метров плитки в день планирует укладывать плиточник? Успеет ли он выполнить заказ за 20 рабочих дней, если будет работать с опережением? Ответ обоснуйте.

Сколько квадратных метров плитки в день планирует укладывать плиточник?

Пусть $x$ м²/день — это плановая производительность плиточника. Тогда время, за которое он планировал уложить 300 м² плитки, составляет $\frac{300}{x}$ дней.

Если он будет укладывать на 5 м² в день больше, его производительность составит $(x+5)$ м²/день, а время на выполнение работы — $\frac{300}{x+5}$ дней.

По условию, при работе с большей производительностью он закончит на 5 дней раньше. Это означает, что разница между плановым временем и фактическим временем составляет 5 дней. Составим и решим уравнение:

$\frac{300}{x} - \frac{300}{x+5} = 5$

Чтобы решить уравнение, приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+5)$:

$\frac{300(x+5) - 300x}{x(x+5)} = 5$

$\frac{300x + 1500 - 300x}{x^2 + 5x} = 5$

$\frac{1500}{x^2 + 5x} = 5$

$1500 = 5(x^2 + 5x)$

Разделим обе части уравнения на 5:

$300 = x^2 + 5x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 5x - 300 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-300) = 25 + 1200 = 1225$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{1225}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 35}{2} = \frac{30}{2} = 15$

$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{1225}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 35}{2} = \frac{-40}{2} = -20$

Так как производительность (количество уложенной плитки в день) не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -20$ не соответствует условию задачи. Следовательно, плановая производительность плиточника составляет 15 м² в день.

Ответ: плиточник планирует укладывать 15 м² плитки в день.

Успеет ли он выполнить заказ за 20 рабочих дней, если будет работать с опережением? Ответ обоснуйте.

"Работать с опережением" означает работать с увеличенной производительностью, то есть укладывать на 5 м² в день больше плана.

Плановая производительность, как мы выяснили, составляет 15 м² в день.

Производительность с опережением будет:

$15 + 5 = 20$ м² в день.

Теперь рассчитаем, сколько дней потребуется, чтобы уложить 300 м² плитки при производительности 20 м² в день:

Время = $\frac{\text{Общий объем работы}}{\text{Производительность в день}} = \frac{300}{20} = 15$ дней.

Сравним полученное время с заданным сроком в 20 рабочих дней:

$15 \text{ дней} < 20 \text{ дней}$.

Поскольку 15 дней меньше 20 дней, плиточник успеет выполнить заказ в срок.

Ответ: да, успеет, так как ему потребуется 15 дней, что меньше 20 дней.