Номер 6, страница 110 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

6. $ABCD$ — равнобедренная трапеция с основаниями $AD = 10$ см, $BC = 6$ см. Диагональ $BD$ равна $10$ см. Найдите площадь трапеции.

Для нахождения площади равнобедренной трапеции $ABCD$ используется формула $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания, а $h$ — высота. По условию, основания трапеции равны $AD = 10$ см и $BC = 6$ см. Для вычисления площади необходимо найти высоту трапеции.

Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ на большее основание $AD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BHD$. В нем гипотенуза — это диагональ трапеции $BD = 10$ см, один катет — это высота $BH=h$, а второй катет — отрезок $HD$.

Чтобы найти длину катета $HD$, сначала определим длину отрезка $AH$. В равнобедренной трапеции высоты, опущенные из вершин меньшего основания, отсекают на большем основании равные отрезки. Проведем вторую высоту $CK$ из вершины $C$ на основание $AD$. Тогда $AH = KD$. Четырехугольник $BCKH$ является прямоугольником, поэтому $HK = BC = 6$ см.

Длина основания $AD$ складывается из длин отрезков $AH$, $HK$ и $KD$:
$AD = AH + HK + KD$.
Так как $AH = KD$, мы можем записать:
$AD = 2 \cdot AH + HK$.
Подставим известные значения:
$10 = 2 \cdot AH + 6$
$2 \cdot AH = 10 - 6$
$2 \cdot AH = 4$
$AH = 2$ см.

Теперь мы можем найти длину отрезка $HD$. Он равен разности длины основания $AD$ и отрезка $AH$:
$HD = AD - AH = 10 - 2 = 8$ см.

Вернемся к прямоугольному треугольнику $\triangle BHD$. По теореме Пифагора ($BH^2 + HD^2 = BD^2$), найдем высоту $h = BH$:
$h^2 + 8^2 = 10^2$
$h^2 + 64 = 100$
$h^2 = 100 - 64$
$h^2 = 36$
$h = \sqrt{36} = 6$ см.

Теперь, когда известны оба основания и высота, можно вычислить площадь трапеции:
$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h = \frac{10 + 6}{2} \cdot 6 = \frac{16}{2} \cdot 6 = 8 \cdot 6 = 48$ см².

Ответ: 48 см².