Номер 10, страница 111 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. В треугольник $ABC$ со сторонами $AB = 5$, $BC = 7$, $AC = 8$ вписана окружность. Касательная $MK$ к окружности пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $K$ так, что $MK$ не параллельна $BC$. Найдите периметр треугольника $AMK$.

Пусть $P_{AMK}$ - периметр треугольника $AMK$. По определению, $P_{AMK} = AM + AK + MK$.

Пусть вписанная в треугольник $ABC$ окружность касается сторон $AB$ и $AC$ в точках $P$ и $R$ соответственно, а касательной $MK$ — в точке $T$.

По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, отрезки касательных из точки $M$ к вписанной окружности равны: $MT = MP$. Аналогично для точки $K$: $KT = KR$.

Сторону $MK$ треугольника $AMK$ можно представить в виде суммы отрезков: $MK = MT + TK$.

Подставим это в формулу периметра и используем равенства для касательных: $P_{AMK} = AM + AK + MK = AM + AK + (MT + TK) = AM + AK + MP + KR$.

Сгруппируем слагаемые следующим образом: $P_{AMK} = (AM + MP) + (AK + KR)$.

Так как точка $M$ лежит на стороне $AB$, а точка $K$ — на стороне $AC$, то суммы в скобках представляют собой отрезки $AP$ и $AR$: $AM + MP = AP$
$AK + KR = AR$

Следовательно, периметр треугольника $AMK$ равен: $P_{AMK} = AP + AR$.

Отрезки $AP$ и $AR$ являются касательными к вписанной окружности, проведенными из одной вершины $A$, поэтому их длины равны: $AP = AR$.

Таким образом, $P_{AMK} = 2 \cdot AP$.

Теперь найдем длину отрезка $AP$. Длина касательной, проведенной из вершины треугольника к вписанной окружности, вычисляется по формуле $AP = p - BC$, где $p$ — полупериметр треугольника $ABC$, а $BC$ — сторона, противолежащая вершине $A$.

Найдем полупериметр треугольника $ABC$: $p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{5 + 7 + 8}{2} = \frac{20}{2} = 10$.

Теперь вычислим длину отрезка $AP$: $AP = p - BC = 10 - 7 = 3$.

Наконец, находим искомый периметр треугольника $AMK$: $P_{AMK} = 2 \cdot AP = 2 \cdot 3 = 6$.

Условие, что $MK$ не параллельна $BC$, подчеркивает, что полученный результат не зависит от конкретного положения касательной $MK$ (при условии, что она пересекает стороны $AB$ и $AC$).

Ответ: 6