Номер 6, страница 112 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

6. ABCD — равнобедренная трапеция с основаниями $BC = 2 \text{ см}$, $AD = 4 \text{ см}$. Диагональ $AC$ равна $5 \text{ см}$. Найдите площадь трапеции.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота. По условию, основания трапеции $ABCD$ равны $BC = 2 \text{ см}$ и $AD = 4 \text{ см}$.

Для вычисления площади необходимо найти высоту трапеции $h$. Проведем из вершины $C$ высоту $CH$ на основание $AD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$, в котором гипотенуза $AC = 5 \text{ см}$, а катеты — $CH$ (высота $h$) и $AH$.

Найдем длину отрезка $AH$. Поскольку трапеция равнобедренная, отрезок $HD$, который отсекает высота $CH$ от большего основания, равен полуразности оснований:

$HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{4 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1 \text{ см}$.

Тогда длина отрезка $AH$ будет равна:

$AH = AD - HD = 4 - 1 = 3 \text{ см}$.

Теперь по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ACH$ найдем высоту $h = CH$:

$h^2 = AC^2 - AH^2$

$h^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$

$h = \sqrt{16} = 4 \text{ см}$.

Зная высоту, вычисляем площадь трапеции:

$S = \frac{BC + AD}{2} \cdot h = \frac{2 + 4}{2} \cdot 4 = \frac{6}{2} \cdot 4 = 3 \cdot 4 = 12 \text{ см}^2$.

Ответ: $12 \text{ см}^2$.