Номер 9, страница 113 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

9. Плиточник планирует уложить $378 м^2$ плитки. Если он будет укладывать на $4 м^2$ в день больше, чем запланировал, то закончит работу на 6 дней раньше. Сколько квадратных метров плитки в день планирует укладывать плиточник? Успеет ли он выполнить заказ за 21 рабочий день, если будет работать, как запланировал? Ответ обоснуйте.

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ м² — это запланированная производительность плиточника (количество плитки, укладываемое в день). Общий объем работы составляет 378 м². Время, необходимое для выполнения работы по плану, равно $\frac{378}{x}$ дней.

Если плиточник будет укладывать на 4 м² в день больше, его производительность составит $x+4$ м² в день. Время выполнения работы в этом случае будет равно $\frac{378}{x+4}$ дней.

По условию, при увеличенной производительности работа будет закончена на 6 дней раньше. Составим уравнение, отражающее эту разницу во времени:

$\frac{378}{x} - \frac{378}{x+4} = 6$

Сколько квадратных метров плитки в день планирует укладывать плиточник?

Решим составленное уравнение. Для этого приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+4)$:

$\frac{378(x+4) - 378x}{x(x+4)} = 6$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{378x + 1512 - 378x}{x^2 + 4x} = 6$

$\frac{1512}{x^2 + 4x} = 6$

Предполагая, что $x \neq 0$ и $x \neq -4$ (что верно, так как производительность положительна), умножим обе части на $x^2 + 4x$:

$1512 = 6(x^2 + 4x)$

Разделим обе части уравнения на 6:

$252 = x^2 + 4x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 4x - 252 = 0$

Найдем корни уравнения с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-252) = 16 + 1008 = 1024$

$\sqrt{D} = \sqrt{1024} = 32$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + 32}{2} = \frac{28}{2} = 14$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - 32}{2} = \frac{-36}{2} = -18$

Так как производительность ($x$) не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -18$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, запланированная производительность составляет 14 м² в день.

Ответ: плиточник планирует укладывать 14 м² плитки в день.

Успеет ли он выполнить заказ за 21 рабочий день, если будет работать, как запланировал?

Мы выяснили, что запланированная производительность плиточника — 14 м² в день. Общий объем работы, который необходимо выполнить, — 378 м².

Чтобы найти количество дней, которое потребуется для выполнения всего заказа при работе по плану, разделим общий объем работы на запланированную дневную производительность:

Время = $\frac{378}{14} = 27$ дней.

Теперь сравним полученное время с требуемым сроком в 21 день:

$27 \text{ дней} > 21 \text{ день}$

Поскольку необходимое время (27 дней) превышает установленный срок (21 день), плиточник не успеет выполнить заказ вовремя, если будет работать так, как запланировал.

Ответ: нет, не успеет. Обоснование: при запланированной производительности в 14 м²/день на выполнение всего заказа потребуется 27 дней, что больше установленного срока в 21 день.